Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
11.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações dadas:
  • O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{3^{n}}{n!}.
  • Trata-se de uma série alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • Não há outras informações numéricas além do termo geral.

Passo 2

Definimos o que é absoluta convergência e como iremos testar: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Aqui temos
|a_n|=\left|(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!}\right|=\frac{3^{n}}{n!}.
Portanto precisamos estudar a série positiva
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3^{n}}{n!}.
Se esta série converge, então a série original é absolutamente convergente (e portanto convergente).

Passo 3

Vou usar o critério da razão (teste de d’Alembert), que é muito eficaz para séries com fatorial. O enunciado do teste é:
seja (b_n) uma sequência de termos positivos e se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então
  • se L<1, a série \sum b_n converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos b_n=\dfrac{3^{n}}{n!}. Vou calcular a razão entre termos consecutivos.

Passo 4

Calcule a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{n}}{n!}} = \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^{n}} = \frac{3}{n+1}.
Agora o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0.
Como L=0<1, pelo critério da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^{n}}{n!} converge.

Passo 5

Conclusão a partir do resultado anterior: a série dos módulos \sum |a_n|=\sum \dfrac{3^{n}}{n!} converge, logo a série original é absolutamente convergente. Lembrando a implicação padrão: absoluta convergência implica convergência (a série alternada original converge portanto também, mas a classificação correta é absoluta).

Passo 6

Um comentário adicional (intuitivo) para fixar: factorials crescem muito mais rápido que potências fixas. A relação \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3}{n+1} mostra que, a partir de n maior que 3, cada razão é menor que 1 e tende a 0; por isso os termos positivos \dfrac{3^n}{n!} decaem muito rápido e a soma fica limitada. Também vale notar que, de fato,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}=e^{3},
mas isso é apenas uma observação extra — para o teste foi suficiente o critério da razão.

Resposta

absolutamente convergente.

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