Nessa situação, é possível que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) exista e o significado de cada uma das notações
f(x)=\infty
(b) \lim f(\ldots)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá, sem resolver ainda.
Primeiro pedido: explicar com palavras o significado de \lim_{x\to 2} f(x)=5.
Pergunta ligada: é possível que a igualdade anterior seja verdadeira e que f(2)=3?
Segundo pedido: explicar o significado de \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 e o significado de \lim_{x\to 1^+} f(x)= (o enunciado deixou o valor da direita em branco — vou explicar o caso geral).
Pergunta ligada: nessa situação (com a informação da esquerda), é possível que \lim_{x\to 1} f(x) exista?
Terceiro pedido: explicar o significado da notação f(x)=\infty e também explicar o significado de notações do tipo \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
Passo 2
O que quer dizer \lim_{x\to 2} f(x)=5, explicado de forma intuitiva e depois formal.
Intuitivamente: isso significa que, quando x se aproxima de 2 (ou seja, pega números cada vez mais próximos de 2, sem precisar que x seja exatamente 2), os valores f(x) se aproximam cada vez mais de 5. A ideia-chave: o comportamento de f próximo de 2 é “tender” a 5.
Definição formal (epsilon–delta): \lim_{x\to 2} f(x)=5 significa que\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }\delta>0\;\text{tal que, se }0<|x-2|<\delta,\text{ então }|f(x)-5|<\varepsilon.Aqui:
\varepsilon é a margem de proximidade desejada em torno de 5 (um número pequeno);
\delta é a distância em torno de 2 que garante essa proximidade;
a condição 0<|x-2|<\delta significa “x está suficientemente perto de 2, mas diferente de 2”.
Importante: a definição usa 0<|x-2| justamente para não depender do valor de f em x=2; o limite é sobre pontos diferentes de 2.
Passo 3
É possível ter [\lim_{x\to 2} f(x)=5) e f(2)=3? Explicação e exemplo concreto.
Resposta curta: sim, é possível.
Por quê: o limite olha só para valores de f(x) quando x se aproxima de 2 com x\neq2. O valor que a função assume exatamente em x=2 não entra na definição do limite. Portanto nada impede que f(2) seja outro número.
Exemplo simples (construa na prova se pedirem): definirf(x)=\begin{cases} 5, & x\neq 2,\\[4pt] 3, & x=2. \end{cases}Para esse f\], se \(x\neq2 então f(x)=5, logo |f(x)-5|=0 e assim, para qualquer \varepsilon>0, qualquer \delta>0 funciona: sempre que 0<|x-2|<\delta temos |f(x)-5|=0<\varepsilon. Assim \lim_{x\to2} f(x)=5 e, ao mesmo tempo, f(2)=3.
Nome que se usa: essa é uma descontinuidade “removível” — há um “buraco” no gráfico que foi preenchido com outro valor.]
Passo 4
Significado de \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 e de \lim_{x\to 1^+} f(x)= (caso geral); definição formal das uma-laterais.
Significado de \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 (pela esquerda):
Intuitivamente: quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1 (por exemplo 0,9, 0,99, 0,999, etc.), os valores f(x) se aproximam de 3.
Definição formal: \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 significa que\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }\delta>0\;\text{tal que, se }0<1-x<\delta,\text{ então }|f(x)-3|<\varepsilon.(uma forma equivalente é: se 0<|x-1|<\delta e x<1 então |f(x)-3|<\varepsilon.)
Significado de \lim_{x\to 1^+} f(x)=L (pela direita, escrevo um valor genérico L):
Intuitivamente: quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 (por exemplo 1{,}1, 1{,}01, etc.), os f(x) se aproximam de L.
Definição formal: \lim_{x\to 1^+} f(x)=L significa que\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }\delta>0\;\text{tal que, se }0<x-1<\delta,\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.
Passo 5
Quando [\lim_{x\to 1} f(x)) existe, e exemplos que ilustram os casos possíveis.
Regra prática e útil na prova: \lim_{x\to 1} f(x) existe se, e somente se,\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).Ou seja, as duas uma-laterais existem e são iguais; o valor comum é então o limite.
Casos:
Se \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=3, então \lim_{x\to 1} f(x)=3.
Se \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=7 (por exemplo), então \lim_{x\to 1} f(x) NÃO existe.
Se uma das laterais não existe (por exemplo oscila entre valores, ou diverge para \infty), então a limite bilateral não existe.
Exemplos explícitos para a prova:
Função com salto (limite bilateral não existe):f(x)=\begin{cases} 3, & x<1,\\[4pt] 7, & x>1,\\[4pt] 0, & x=1, \end{cases}aqui \lim_{x\to 1^-} f(x)=3\] e \[\lim_{x\to 1^+} f(x)=7, logo \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
Função contínua com valor diferente no ponto (limite existe, valor no ponto pode ser diferente):f(x)=\begin{cases} x, & x\neq 1,\\[4pt] 10, & x=1, \end{cases}aqui \lim_{x\to 1} f(x)=1\] embora \(f(1)=10.]
Passo 6
O que significa escrever f(x)=\infty e o que significa \lim_{x\to a} f(x)=\infty; como interpretar e como provar na prática.
Primeiro cuidado: \infty não é um número real. A expressão f(x)=\infty é uma abreviação coloquial que costuma significar “f(x) não é finito (explode) naquele ponto ou na vizinhança”. É preferível usar a notação de limite.
Notação precisa: \lim_{x\to a} f(x)=\infty significa que f(x) cresce sem limite quando x se aproxima de a. Formalmente:\text{para todo }M>0\;\text{existe }\delta>0\;\text{tal que, se }0<|x-a|<\delta,\text{ então }f(x)>M.ã(Para -\infty troque f(x)>M por f(x)<-M.)
Exemplo clássico que dá esse comportamento:f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}.Ao aproximar x de 1, f(x) fica arbitrariamente grande. Em prova, para um dado M>0 pode-se escolher \delta=\min\{1,\sqrt{1/M}\} e verificar que se 0<|x-1|<\delta então \dfrac{1}{(x-1)^2}>M.
Observação prática para provas: quando a função tende para \infty diz-se que o limite “diverge para \infty” — não se trata de existência de limite no sentido de número real, mas de um tipo de divergência bem caracterizado.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como identificar e apresentar respostas sem confusão)
Sempre verifique as duas uma-laterais para limites em pontos interiores do domínio: se elas são iguais, escreva essa igualdade e conclua; se diferentes, escreva que o limite bilateral não existe.
Lembre que o valor de f no ponto (como f(2)) é irrelevante para o cálculo de \lim_{x\to 2} f(x). Se pedirem, explique com um exemplo ou cite a definição epsilon–delta.
Ao falar em “\infty” use a definição com quantificador “para todo M>0 existe \delta>0” — isso é o que a banca espera. Evite dizer “f(x)=\infty” como se fosse um número.
Seja explícito: se usar um exemplo construtivo (peça de prova), defina a função por partes e faça uma demonstração curta (como no Passo 3 e no Passo 6).
Resposta
\lim_{x\to 2} f(x)=5 significa que os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de 5 quando x se aproxima de 2 (com x\neq2); sim, é possível ter \lim_{x\to2} f(x)=5 e f(2)=3 (ex.: f(x)=5 para x\neq2, f(2)=3). \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 significa que f(x) tende a 3 quando x se aproxima de 1 pela esquerda; a existência de \lim_{x\to 1} f(x) exige que \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x) (se as uma-laterais forem diferentes ou uma não existir, então \lim_{x\to1} f(x) não existe).
A notação f(x)=\infty é informal e indica que f cresce sem limite; mais correto é escrever \lim_{x\to a} f(x)=\infty, que significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.