Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
R está compreendida entre o gráfico de
, o eixo
e com
.
R está compreendida entre o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede a área da região
que está entre o gráfico da função
, o eixo
e os limites
.
Informações dadas:
- A função que define o contorno é
. - A região está limitada lateralmente por
e . - A região também é limitada pelo eixo
(ou seja, pela reta ).
O que precisamos calcular:
- A área da região
descrita acima.
Passo 2
Entender a posição da curva em relação ao eixo
(se a função está acima ou abaixo do eixo) é essencial para montar a integral de área corretamente.
Primeiro vamos verificar se a função corta o eixo
no intervalo dado, ou seja, resolver
.
Resolver a equação:
O discriminante é
Como
, a equação não tem raízes reais. Portanto a curva não intersecta o eixo
em nenhum ponto real.
Para saber o sinal da função, avalio em um ponto simples, por exemplo
:
Como a parábola abre para baixo (coeficiente de
negativo) e não tem raízes reais, ela está estritamente abaixo do eixo
para todo
. Em particular, em todo o intervalo
temos
.
Conclusão deste passo: no intervalo
a função está abaixo do eixo
. Assim a área entre a curva e o eixo
é dada por integrar o valor absoluto da função, ou seja, por
Passo 3
Explicando a ideia de integrais de Riemann rapidamente e por que usamos essa integral:
- A área sob uma curva e acima do eixo
(quando ) no intervalo é dada pelo limite de somas de retângulos (somas de Riemann). Esse limite é o integral definido . - Se a função está abaixo do eixo (
), o integral é negativo e dá a “área algébrica”. Para obter a área geométrica positiva entre a curva e o eixo, tomamos , que é quando .
Aplicando ao nosso caso, como vimos
em
, escrevemos a integral da área:
Passo 4
Agora calculamos a integral usando uma primitiva (Teorema Fundamental do Cálculo). Integramos termo a termo.
Calcule uma primitiva
de
:
- Uma primitiva de
é , porque . - Uma primitiva de
é , porque . - Uma primitiva de
é , porque .
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Avaliar a integral definida pela primitiva encontrada:
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Calcule
:
Denominador comum
:
Agora a diferença:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- O resultado
é positivo, como deve ser uma área. - Fizemos primeiro a análise de sinal (importante para saber se integramos
ou ), depois escrevemos a integral apropriada e usamos primitivas para avaliar o integral (procedimento padrão com integrais de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo). - Portanto a área pedida é
.