Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R está compreendida entre o gráfico de y=-x^{2}+x-1, o eixo x e com -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R que está entre o gráfico da função y=-x^{2}+x-1, o eixo x e os limites -1 \leq x \leq 1.
Informações dadas:
  • A função que define o contorno é y=-x^{2}+x-1.
  • A região está limitada lateralmente por x=-1 e x=1.
  • A região também é limitada pelo eixo x (ou seja, pela reta y=0).
O que precisamos calcular:
  • A área da região R descrita acima.

Passo 2

Entender a posição da curva em relação ao eixo x (se a função está acima ou abaixo do eixo) é essencial para montar a integral de área corretamente.
Primeiro vamos verificar se a função corta o eixo x no intervalo dado, ou seja, resolver -x^{2}+x-1=0.
Resolver a equação:
-x^{2}+x-1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x+1=0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, a equação não tem raízes reais. Portanto a curva não intersecta o eixo x em nenhum ponto real.
Para saber o sinal da função, avalio em um ponto simples, por exemplo x=0:
y(0) = -0^{2}+0-1 = -1 < 0.
Como a parábola abre para baixo (coeficiente de x^{2} negativo) e não tem raízes reais, ela está estritamente abaixo do eixo x para todo x. Em particular, em todo o intervalo [-1,1] temos y(x)<0.
Conclusão deste passo: no intervalo [-1,1] a função está abaixo do eixo x. Assim a área entre a curva e o eixo x é dada por integrar o valor absoluto da função, ou seja, por
\text{Área} = \int_{-1}^{1} \bigl(0 - y(x)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} -\bigl(-x^{2}+x-1\bigr)\,dx.Á

Passo 3

Explicando a ideia de integrais de Riemann rapidamente e por que usamos essa integral:
  • A área sob uma curva e acima do eixo x (quando f(x)\ge 0) no intervalo [a,b] é dada pelo limite de somas de retângulos (somas de Riemann). Esse limite é o integral definido \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Se a função está abaixo do eixo ( f(x)\le 0), o integral \int_{a}^{b} f(x)\,dx é negativo e dá a “área algébrica”. Para obter a área geométrica positiva entre a curva e o eixo, tomamos \int_{a}^{b} -f(x)\,dx, que é \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx quando f\le0.
Aplicando ao nosso caso, como vimos y(x)=-x^{2}+x-1<0 em [-1,1], escrevemos a integral da área:
A = \int_{-1}^{1} -\bigl(-x^{2}+x-1\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} \bigl(x^{2}-x+1\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral usando uma primitiva (Teorema Fundamental do Cálculo). Integramos termo a termo.
Calcule uma primitiva F(x) de x^{2}-x+1:
  • Uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{x^{3}}{3}\bigr)=x^{2}.
  • Uma primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\dfrac{x^{2}}{2}\bigr)=-x.
  • Uma primitiva de 1 é x, porque \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x.

Passo 5

Avaliar a integral definida pela primitiva encontrada:
A = \int_{-1}^{1} \bigl(x^{2}-x+1\bigr)\,dx = F(1)-F(-1).
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}+1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1.
Colocando em denominador comum 6:
F(1)=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{6}{6}=\frac{5}{6}.
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1)= -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1.
Denominador comum 6:
F(-1)= -\frac{2}{6}-\frac{3}{6}-\frac{6}{6}=-\frac{11}{6}.
Agora a diferença:
A=F(1)-F(-1)=\frac{5}{6}-\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{5}{6}+\frac{11}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado A=\dfrac{8}{3} é positivo, como deve ser uma área.
  • Fizemos primeiro a análise de sinal (importante para saber se integramos f ou |f|), depois escrevemos a integral apropriada e usamos primitivas para avaliar o integral (procedimento padrão com integrais de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo).
  • Portanto a área pedida é \dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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