Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região que está entre os gráficos de y=\cos x e y=\operatorname{sen} x \operatorname{com} \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5 \pi}{4}.

Passo 1

O enunciado dá uma região R limitada entre os gráficos das funções y=\cos x e y=\sin x no intervalo \dfrac{\pi}{4}\le x\le\dfrac{5\pi}{4}.
O que se pede: calcular a área da região R.
Informações relevantes que temos:
  • As duas funções são y=\cos x e y=\sin x.
  • O intervalo horizontal (valores de x) é \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right].
  • Os pontos \,x=\dfrac{\pi}{4}\, e \,x=\dfrac{5\pi}{4}\, são pontos onde \sin x=\cos x (são pontos de interseção) — isto é aparente porque \tan x=1 nessas posições.

Passo 2

Regra geral (intuição pelo Riemann): a área entre duas curvas contínuas y=f(x) e y=g(x) no intervalo [a,b] é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{função de cima} - \text{função de baixo}\bigr)\,dx.Áçãçã
Explicando didaticamente: pense em fatias verticais de largura \Delta x. Em cada fatia a altura aproximada é f(x_i)-g(x_i) se f estiver acima de g. Somando as áreas das fatias e fazendo o limite quando \Delta x\to0 obtém-se a integral de Riemann acima. Aqui precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra em cada x do intervalo dado.

Passo 3

Precisamos decidir qual é a função “de cima” em \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]. Vamos analisar o sinal de
\sin x-\cos x.
Uma identidade útil (mostro como obter) é escrever \sin x-\cos x como uma única função sinusoidal deslocada:
Calcule o fator R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Então
\sin x-\cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right).
Mas \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}, e usando a fórmula de seno da diferença,
\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4} = \sin\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo
\sin x-\cos x = \sqrt{2}\,\sin\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Agora observe que, para x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right], tem-se x-\dfrac{\pi}{4}\in[0,\pi], e em [0,\pi] a função \sin é não negativa. Portanto \sin\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge0 nesse intervalo, o que implica
\sin x-\cos x \ge 0\quad\text{para todo }x\in\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right].
Conclusão: em todo o intervalo dado temos \sin x\ge\cos x. Assim a função de cima é y=\sin x e a de baixo é y=\cos x.

Passo 4

Pelo passo anterior a área A é
A=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\,dx.
Agora calculamos a integral passo a passo.
Antiderivadas básicas (lembrete):
\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C.
Portanto uma primitiva de \sin x-\cos x é
F(x) = -\cos x - \sin x.
Avaliamo-la nos limites:
Calculemos os valores trigonométricos necessários (valores clássicos sem calculadora):
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora
F\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) - \sin\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = -\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) - \bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
E
F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) - \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.
Portanto a área é
A = F\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}.

Passo 5

Resumo final e checagem rápida: as curvas só se cruzam nos extremos do intervalo dado; no interior \sin x está acima de \cos x; integrar a diferença dá 2\sqrt{2}. Resultado plausível em termos de sinais e simetrias (positivo e de ordem da raiz de 2) — parece consistente.

Resposta

2\sqrt{2}

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