Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
é a região que está entre os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma região
limitada entre os gráficos das funções
e
no intervalo
.
O que se pede: calcular a área da região .
O que se pede: calcular a área da região
Informações relevantes que temos:
- As duas funções são
e . - O intervalo horizontal (valores de
) é . - Os pontos
e são pontos onde (são pontos de interseção) — isto é aparente porque nessas posições.
Passo 2
Regra geral (intuição pelo Riemann): a área entre duas curvas contínuas
e
no intervalo
é dada por
Explicando didaticamente: pense em fatias verticais de largura
. Em cada fatia a altura aproximada é
se
estiver acima de
. Somando as áreas das fatias e fazendo o limite quando
obtém-se a integral de Riemann acima. Aqui precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra em cada
do intervalo dado.
Passo 3
Precisamos decidir qual é a função “de cima” em
. Vamos analisar o sinal de
Uma identidade útil (mostro como obter) é escrever
como uma única função sinusoidal deslocada:
Calcule o fator . Então
Calcule o fator
Mas
, e usando a fórmula de seno da diferença,
Logo
Agora observe que, para
, tem-se
, e em
a função
é não negativa. Portanto
nesse intervalo, o que implica
Conclusão: em todo o intervalo dado temos
. Assim a função de cima é
e a de baixo é
.
Passo 4
Pelo passo anterior a área
é
Agora calculamos a integral passo a passo.
Antiderivadas básicas (lembrete):
Portanto uma primitiva de
é
Avaliamo-la nos limites:
Calculemos os valores trigonométricos necessários (valores clássicos sem calculadora):
Calculemos os valores trigonométricos necessários (valores clássicos sem calculadora):
Agora
E
Portanto a área é
Passo 5
Resumo final e checagem rápida: as curvas só se cruzam nos extremos do intervalo dado; no interior
está acima de
; integrar a diferença dá
. Resultado plausível em termos de sinais e simetrias (positivo e de ordem da raiz de 2) — parece consistente.