Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R está abaixo do gráfico de y=\sqrt{x}, acima do eixo x e com 2 \leq x \leq 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R definida por:
  • A curva superior é y=\sqrt{x}.
  • A região está acima do eixo x.
  • Os limites em x são 2 \leq x \leq 4.
O que é pedido:
  • Calcular a área da região R usando integrais de Riemann.

Passo 2

Idea (intuitiva) do procedimento pedido: a integral de Riemann é a maneira formal de obter a área sob uma curva contínua como limite de somas de retângulos. Vou explicar passo a passo como isso funciona, mas prometo deixar simples e direto para a prova.
Definição básica (intuitiva) de soma de Riemann:
  • Tomamos o intervalo [2,4] e dividimos em n subintervalos pelo particionamento 2 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = 4.
  • Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] escolhemos um ponto de amostragem \xi_i\in[x_{i-1},x_i].
  • A largura do i-ésimo subintervalo é \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.
  • A soma de Riemann associada é S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i,onde aqui f(x)=\sqrt{x}.
  • Se f for contínua em [2,4] (e \sqrt{x} é contínua aí), quando a máxima largura dos subintervalos \max_i \Delta x_i tende a zero, as somas S_n tendem a um limite bem definido, que é a integral definida \int_{2}^{4} f(x)\,dx.
Esse limite representa exatamente a área sob y=f(x) sobre [2,4]. Como y=\sqrt{x} é contínua em [2,4], ela é Riemann-integrável e a área pedida é a integral definida de 2 a 4 de \sqrt{x}.

Passo 3

Escrever a área como integral definida:
\text{Área}(R) = \int_{2}^{4} \sqrt{x}\,dx.Á

Passo 4

Como calcular a integral \int_{2}^{4} \sqrt{x}\,dx na prática (regra da primitiva/potência).
Passo intermediário: reescrever \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Regra da potência para primitivas (uma mini-aula): para qualquer real p\neq -1,
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, então p+1=\tfrac{3}{2}. Aplicando a regra:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}\,x^{3/2} + C.
Assim uma primitiva F(x) de f(x)=\sqrt{x} é
F(x)=\frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): a integral definida entre a e b é F(b)-F(a) onde F é uma primitiva de f. Então
\int_{2}^{4} \sqrt{x}\,dx = F(4)-F(2) = \frac{2}{3}\,4^{3/2} - \frac{2}{3}\,2^{3/2}.

Passo 6

Calcular explicitamente 4^{3/2} e 2^{3/2}:
  • 4^{3/2} = (\sqrt{4})^{3} = 2^{3} = 8.
  • 2^{3/2} = (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}.
Substituindo:
\int_{2}^{4} \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}.

Passo 7

Fazer as contas finais:
\frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3},\qquad \frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{4}{3}\sqrt{2}.
Portanto
\int_{2}^{4} \sqrt{x}\,dx = \frac{16}{3} - \frac{4}{3}\sqrt{2} = \frac{16-4\sqrt{2}}{3}.
Também pode ser escrito como
\frac{4}{3}\,(4-\sqrt{2}).

Passo 8

Interpretação numérica rápida (cheia de incentivo): se quiser um valor aproximado para ter noção, \sqrt{2}\approx 1{,}4142, então
\frac{16-4\sqrt{2}}{3}\approx \frac{16-5{,}6568}{3}\approx \frac{10{,}3432}{3}\approx 3{,}4477.
Mas na prova prefira a forma exata \dfrac{16-4\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\dfrac{16-4\sqrt{2}}{3}

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