Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
R está abaixo do gráfico de
, acima do eixo
e com
.
R está abaixo do gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a região
definida por:
- A curva superior é
. - A região está acima do eixo
. - Os limites em
são .
O que é pedido:
- Calcular a área da região
usando integrais de Riemann.
Passo 2
Idea (intuitiva) do procedimento pedido: a integral de Riemann é a maneira formal de obter a área sob uma curva contínua como limite de somas de retângulos. Vou explicar passo a passo como isso funciona, mas prometo deixar simples e direto para a prova.
Definição básica (intuitiva) de soma de Riemann:
- Tomamos o intervalo
e dividimos em subintervalos pelo particionamento - Em cada subintervalo
escolhemos um ponto de amostragem . - A largura do i-ésimo subintervalo é
. - A soma de Riemann associada é
onde aqui . - Se
for contínua em (e é contínua aí), quando a máxima largura dos subintervalos tende a zero, as somas tendem a um limite bem definido, que é a integral definida
Esse limite representa exatamente a área sob
sobre
. Como
é contínua em
, ela é Riemann-integrável e a área pedida é a integral definida de
a
de
.
Passo 3
Escrever a área como integral definida:
Passo 4
Como calcular a integral
na prática (regra da primitiva/potência).
Passo intermediário: reescrever
como potência:
Regra da potência para primitivas (uma mini-aula): para qualquer real
,
Aqui
, então
. Aplicando a regra:
Assim uma primitiva
de
é
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): a integral definida entre
e
é
onde
é uma primitiva de
. Então
Passo 6
Calcular explicitamente
e
:
Substituindo:
Passo 7
Fazer as contas finais:
Portanto
Também pode ser escrito como
Passo 8
Interpretação numérica rápida (cheia de incentivo): se quiser um valor aproximado para ter noção,
, então
Mas na prova prefira a forma exata
.