Considere a equação diferencial
Mostre que as funções
e
formam um conjunto fundamental de soluções e escreva a solução geral da EDO dada.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial de Cauchy–Euler de segunda ordem: 2 x² y’’ + 3 x y’ – y = 0, com x > 0. Para resolver, vamos usar a técnica de propor uma solução da forma y = xᵐ.
Passo 2
Em uma equação de Cauchy–Euler, assumimos y = xᵐ. Daí y’ = m x^{m–1} e y’’ = m(m–1) x^{m–2}. Com essas expressões, a gente substitui na ODE original.
Passo 3
Substituindo, temos
ou seja
Isso gera a equação característica
Passo 4
As raízes m = 1/2 e m = -1 nos dão duas soluções independentes y₁ = x^{1/2} = √x e y₂ = x^{-1} = 1/x. Para garantir que são um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
Como W ≠ 0 em x>0, y₁ e y₂ são independentes.
Passo 5
Pela teoria de EDOs lineares de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes: y(x) = C₁ √x + C₂ (1/x).
Resposta
A solução geral é
.