Considere a equação diferencial
2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0
Mostre que as funções y1=raizx e y2=1x formam um conjunto fundamental de soluções e escreva a solução geral da EDO dada.

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial de Cauchy–Euler de segunda ordem: 2 x² y’’ + 3 x y’ – y = 0, com x > 0. Para resolver, vamos usar a técnica de propor uma solução da forma y = xᵐ.

Passo 2

Em uma equação de Cauchy–Euler, assumimos y = xᵐ. Daí y’ = m x^{m–1} e y’’ = m(m–1) x^{m–2}. Com essas expressões, a gente substitui na ODE original.

Passo 3

Substituindo, temos
2 x² · m(m1) x^m2 + 3 x · m x^m1 - x^m = 0 ²
ou seja
[2m(m-1) + 3m - 1] x^m = 0
Isso gera a equação característica
2m^2 + m - 1 = 0 implies m = 12 ou m = -1

Passo 4

As raízes m = 1/2 e m = -1 nos dão duas soluções independentes y₁ = x^{1/2} = √x e y₂ = x^{-1} = 1/x. Para garantir que são um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)=y1y2' - y2y1' = raizxl(-1x^2r) - 1xl(12raizxr) = -32x^-3/2 neq 0
Como W ≠ 0 em x>0, y₁ e y₂ são independentes.

Passo 5

Pela teoria de EDOs lineares de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes: y(x) = C₁ √x + C₂ (1/x).

Resposta

A solução geral é y(x)=C1raizx+C21x.

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