Use uma integral dupla para determinar a área da região.
A região dentro do círculo
e fora do cardioide
A região dentro do círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica dentro do círculo
e fora do cardioide
Usamos coordenadas polares e a fórmula da área em polar:
Passo 2
Precisamos achar os limites de integração, ou seja, os ângulos em que as duas curvas se encontram. Resolve-se
Passo 3
Para
entre
e
verifica-se que
ou seja, o círculo é o raio externo e o cardioide o raio interno. Portanto,
Passo 4
Simplificamos o integrando:
Passo 5
Calculamos uma antiderivada de
. Usando
, obtemos
Passo 6
Avaliamo de
a
:
Diferença:
Então a área é