Use uma integral dupla para determinar a área da região.
A região dentro do círculo r=3 cos theta e fora do cardioide r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica dentro do círculo
r = 3costheta
e fora do cardioide
r = 1 + costheta
Usamos coordenadas polares e a fórmula da área em polar:
A = 12 integraltheta1^theta2 l(rext^2 - rint^2r),dtheta

Passo 2

Precisamos achar os limites de integração, ou seja, os ângulos em que as duas curvas se encontram. Resolve-se
3costheta = 1 + costheta
2costheta = 1
costheta = tfrac12 Longrightarrow theta = pm tfracpi3

Passo 3

Para theta entre -tfracpi3 e tfracpi3 verifica-se que
3costheta >= 1 + costheta,
ou seja, o círculo é o raio externo e o cardioide o raio interno. Portanto,
A = 12 integral-pi/3^pi/3 l[(3costheta)^2 - (1+costheta)^2r],dtheta

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(3costheta)^2 - (1+costheta)^2 =9cos^2theta - l(1 +2costheta +cos^2thetar) =8cos^2theta -2costheta -1

Passo 5

Calculamos uma antiderivada de 8cos^2theta -2costheta -1. Usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2, obtemos
integral l(8cos^2theta -2costheta -1r),dtheta = integral l(4+4cos2theta -2costheta -1r),dtheta = integral (3 +4cos2theta -2costheta),dtheta
=3theta +2sin2theta -2sintheta + C

Passo 6

Avaliamo de -tfracpi3 a tfracpi3:
F(theta)=3theta +2sin2theta -2sintheta,
Fl(tfracpi3r)=3cdottfracpi3+2sintfrac2pi3-2sintfracpi3 =pi +2cdottfracraiz32-2cdottfracraiz32=pi,
Fl(-tfracpi3r)=3cdotl(-tfracpi3r)+2sinl(-tfrac2pi3r)-2sinl(-tfracpi3r) =-pi +2cdotl(-tfracraiz32r)-2cdotl(-tfracraiz32r) =-pi
Diferença:
Fl(tfracpi3r)-Fl(-tfracpi3r)=pi -(-pi)=2pi
Então a área é
A = 12cdot 2pi = pi

Resposta

pi .

Exercícios relacionados