Resolva o problema de valor inicial dado. DĂŞ o maior intervalo
sobre o qual a solução estå definida.
Passo 1
O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo linear: 25·x·y′+y=e^x com condição inicial y(1)=2. Vamos tratá-la como y′+p(x)y=g(x), onde p(x)=1/(25x) e g(x)=e^x/(25x). Como a solução geral envolve dividir por x, o ponto x=0 é singular, e a condição inicial em x=1 sugere buscar a solução para x>0.
Passo 2
Para resolver, calculamos o fator integrante μ(x)=exp(∫p(x),dx). Temos p(x)=1/(25x), então
Passo 3
Como trabalhamos em x>0, escrevemos μ(x)=x^{1/25}.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por μ(x) para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto:
Passo 5
Passo 6
Agora integramos ambos os lados de 1 até x (para já usar a condição inicial e eliminar a constante extra):
Passo 7
Passo 8
Substituindo y(1)=2 e 1^{1/25}=1, obtemos
Passo 9
Passo 10
Isolando y(x):
Passo 11
Passo 12
Como a única singularidade é em x=0, o maior intervalo em que a solução com y(1)=2 fica bem definida é I=(0,∞).
Resposta
y(x)=x{-1/25}\Bigl(2+\frac{1}{25}\int_{1}{x}et,t{-24/25},dt\Bigr), I=(0,\infty)