Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução estå definida.
25 x y^prime+y=e^x, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo linear: 25·x·y′+y=e^x com condição inicial y(1)=2. Vamos tratá-la como y′+p(x)y=g(x), onde p(x)=1/(25x) e g(x)=e^x/(25x). Como a solução geral envolve dividir por x, o ponto x=0 é singular, e a condição inicial em x=1 sugere buscar a solução para x>0.

Passo 2

Para resolver, calculamos o fator integrante μ(x)=exp(∫p(x),dx). Temos p(x)=1/(25x), então

Passo 3

μ(x)=e^integral 125x,dx=e^125ln|x|=|x|^1/25
Como trabalhamos em x>0, escrevemos μ(x)=x^{1/25}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por μ(x) para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto:

Passo 5

ddxl(y·x^1/25r)=x^1/25cdote^x25x=125,e^x,x^-24/25

Passo 6

Agora integramos ambos os lados de 1 até x (para já usar a condição inicial e eliminar a constante extra):

Passo 7

y(x),x^1/25-y(1),1^1/25=125integral1^xe^t,t^-24/25,dt

Passo 8

Substituindo y(1)=2 e 1^{1/25}=1, obtemos

Passo 9

y(x),x^1/25-2=125integral1^xe^t,t^-24/25,dt

Passo 10

Isolando y(x):

Passo 11

y(x)=x^-1/25l(2+125integral1^xe^t,t^-24/25,dtr)

Passo 12

Como a única singularidade é em x=0, o maior intervalo em que a solução com y(1)=2 fica bem definida é I=(0,∞).

Resposta

y(x)=x{-1/25}\Bigl(2+\frac{1}{25}\int_{1}{x}et,t{-24/25},dt\Bigr), I=(0,\infty)

Exercícios relacionados