Use a integral indefinida para encontrar uma solução explicita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-©.
,
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo principal que vamos usar é separação de variáveis e integração indefinida.
Passo 2
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
, de modo a isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Integre ambos os lados indefinidamente:
No lado esquerdo temos
. No lado direito mantemos
pois não existe primitiva elementar em termos de funções usuais.
Passo 4
Inclua a constante de integração
e escreva
Use a condição inicial
: ao substituir
obtemos
, logo
.
Passo 5
Substitua
e isole
. Primeiro reescreva a integral com limite zero para ajustar a constante:
Multiplicando por 3 e extraindo a raiz cúbica:
[
y{3}=3\int_{0}{x}e{t{2}}dt+1 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\bigl(1+3\int_{0}{x}e{t{2}}dt\bigr){1/3}.
y{3}=3\int_{0}{x}e{t{2}}dt+1 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\bigl(1+3\int_{0}{x}e{t{2}}dt\bigr){1/3}.
Passo 6
Se desejar, pode expressar a integral em termos da função erro imaginária:
levando a
[
y(x)=\Bigl(1+\tfrac{3\sqrt{\pi}}{2},\mathrm{erfi}(x)\Bigr)^{1/3}.
y(x)=\Bigl(1+\tfrac{3\sqrt{\pi}}{2},\mathrm{erfi}(x)\Bigr)^{1/3}.