Use a integral indefinida para encontrar uma solução explicita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-©.
d y / d x=e^x^2 y^-2,
y(0)=1

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO de primeira ordem dydx=e^x^2y^-2 com condição inicial y(0)=1. O conteúdo principal que vamos usar é separação de variáveis e integração indefinida.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y^2,dx, de modo a isolar y de um lado e x do outro:
y^2,dy = e^x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados indefinidamente:
integral y^2,dy = integral e^x^2,dx
No lado esquerdo temos integral y^2,dy=tfracy^33. No lado direito mantemos integral e^x^2dx pois não existe primitiva elementar em termos de funções usuais.

Passo 4

Inclua a constante de integração C e escreva
y^33 = integral e^x^2dx + C
Use a condição inicial y(0)=1: ao substituir x=0, y=1 obtemos tfrac1^33=0+C, logo C=tfrac13.

Passo 5

Substitua C e isole y. Primeiro reescreva a integral com limite zero para ajustar a constante:
y^33 = integral0^xe^t^2dt + 13
Multiplicando por 3 e extraindo a raiz cúbica:
[
y{3}=3\int_{0}{x}e{t{2}}dt+1 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\bigl(1+3\int_{0}{x}e{t{2}}dt\bigr){1/3}.

Passo 6

Se desejar, pode expressar a integral em termos da função erro imaginária:
integral0^xe^t^2dt=raizpi2,erfi(x),
levando a
[
y(x)=\Bigl(1+\tfrac{3\sqrt{\pi}}{2},\mathrm{erfi}(x)\Bigr)^{1/3}.

Resposta

y(x)=l(1+3integral0^xe^t^2dtr)^1/3

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