Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
t^-1 d yd t=2 cos ^2 y, y(0)=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a equação t^-1dydt=2cos^2y com condição y(0)=pi/4. Esse é um EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e t e integrar.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t, obtemos dydt=2tcos^2y. Agora separamos as variáveis: dividimos por cos^2y e multiplicamos por dt, gerando dycos^2y=2t,dt.

Passo 3

Reconhecemos que 1cos^2y=sec^2y. Então integramos ambos os lados: integralsec^2y,dy=integral2t,dt. Isso resulta em tan y=t^2+C.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=pi/4, temos tan(pi/4)=1, logo 1=0^2+C, ou seja, C=1. Assim, a relação fica tan y=t^2+1.

Resposta

y(t)=arctan(t^2+1)

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