Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
y^prime=(2 x+y^2) / x y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é de coeficientes homogêneos. Se for, então vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações diferenciais homogêneas e a técnica de substituição que ajuda a resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. É uma equação na qual, se substituirmos $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $, o lado direito da equação é multiplicado por uma potência de $ t $. Isso significa que todos os termos têm o mesmo grau.
Nossa equação é:
x
Vamos verificar se ela é homogênea.

Passo 3

Para verificar a homogeneidade, substituímos $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $:
x
Para que a equação seja homogênea, o resultado deve ser a mesma expressão original multiplicada por uma potência de $ t $. Observamos que, ao fatorar $ t $, podemos simplificar a expressão, o que confirma que a equação é homogênea.

Passo 4

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Assim, $ y = v x $ e $ y’ = v + x v’ $.
Substituindo na equação original:
v = yx
Simplificando:
y = v x
Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
y' = v + x v'
Multiplicando ambos os lados por $ v $:
v + x v' = 2x + (v x)^2x cdot v x = 2x + v^2 x^2v x^2 = 2 + v^2 xv x

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis. Reescrevemos a equação:
v dvdx = 2x^2
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
dx
Integrando ambos os lados:
v dv = 2x^2 dx
integral v dv = integral 2x^2 dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à substituição $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx
Multiplicando ambos os lados por $ 2x^2 $:
(yx)^22 = -2x + C
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
2x^2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y^2 = -4x + C x^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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