Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é de coeficientes homogêneos. Se for, então vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações diferenciais homogêneas e a técnica de substituição que ajuda a resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. É uma equação na qual, se substituirmos $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $, o lado direito da equação é multiplicado por uma potência de $ t $. Isso significa que todos os termos têm o mesmo grau.
Nossa equação é:
Vamos verificar se ela é homogênea.
Passo 3
Para verificar a homogeneidade, substituímos $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $:
Para que a equação seja homogênea, o resultado deve ser a mesma expressão original multiplicada por uma potência de $ t $. Observamos que, ao fatorar $ t $, podemos simplificar a expressão, o que confirma que a equação é homogênea.
Passo 4
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Assim, $ y = v x $ e $ y’ = v + x v’ $.
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ v $:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis. Reescrevemos a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à substituição $ v = \frac{y}{x} $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2x^2 $:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.