Catcule as integrais:
integral tg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de tan^2x em relação a x. Isso faz parte do tema de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que relaciona o tan^2x com sec^2x. Sabemos que:
tan^2x + 1 = sec^2x
Isso significa que podemos reescrever tan^2x como:
tan^2x = sec^2x - 1
Essa substituição vai facilitar a nossa integração.

Passo 3

Agora, vamos substituir tan^2x na integral original:
integral tan^2x , dx = integral (sec^2x - 1) , dx
Isso divide a integral em duas partes mais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral sec^2x , dx - integral 1 , dx
Sabemos que a integral de sec^2x é tanx e a integral de 1 em relação a x é x. Então:
tanx - x + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral de tan^2x é:
integral tan^2x , dx = tanx - x + C

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