. Use integral tripla em coordenadas retangulares para calcular o volume do sólido no primeiro octante abaixo do plano z=1-x-y.

Passo 1

O enunciado pede: usar integral tripla em coordenadas retangulares para calcular o volume do sólido no primeiro octante abaixo do plano z=1-x-y.
Informações dadas e o que isso implica:
  • O plano é z=1-x-y.
  • “Primeiro octante” significa x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • O sólido é o conjunto de pontos com x\ge0, y\ge0, z\ge0 e abaixo do plano: 0\le z\le 1-x-y.
  • A projeção do sólido no plano xy (região D) é dada pelas condições x\ge0, y\ge0 e 1-x-y\ge0, ou seja x+y\le1. Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1).

Passo 2

Escrever a integral tripla para o volume V. Em coordenadas retangulares o elemento de volume é dV. Logo
V=\iiint_{V} dV.
Como o limite em z é de 0 até 1-x-y, e a projeção no plano xy é D, podemos reduzir a integral a uma dupla:
V=\iint_{D}\left(\int_{z=0}^{1-x-y} dz\right)dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 3

Escolher uma ordem conveniente para integrar sobre D. O triângulo D pode ser descrito por
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x.
Portanto escrevemos o iterado como
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\left(\int_{z=0}^{1-x-y} dz\right)dy\,dx.
A escolha dz\,dy\,dx é natural porque o limite em z é diretamente dado pela equação do plano.

Passo 4

Calcular a integral interna em z. Como integrando é 1 em relação a z,
\int_{z=0}^{1-x-y} dz = 1-x-y.
Essa operação significa: para cada ponto (x,y) no triângulo, a “altura” do sólido em z é 1-x-y.

Passo 5

Substituir o resultado na integral dupla e escrever explicitamente:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} (1-x-y)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a integral interna em y. Primeiro achar a primitiva de 1-x-y em y:
\int (1-x-y)\,dy = (1-x)y - \frac{y^{2}}{2}.
Agora avaliar entre y=0 e y=1-x:
\left[(1-x)y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x} = (1-x)(1-x) - \frac{(1-x)^{2}}{2} = \frac{(1-x)^{2}}{2}.

Passo 7

Agora a integral em x fica
V=\int_{x=0}^{1} \frac{(1-x)^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-2x+x^{2})\,dx.
Calcular a primitiva em x:
\int (1-2x+x^{2})\,dx = x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3}.
Avaliar de 0 a 1:
\left[x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator 1/2:
V = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 8

Interpretação rápida como checagem: o sólido é um tetraedro com interceptos igual a 1 nos eixos, e o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano x/a+y/b+z/c=1 é \dfrac{abc}{6}. Aqui a=b=c=1, então V=\dfrac{1}{6}, consistente com o cálculo por integrais.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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