. Use integral tripla em coordenadas retangulares para calcular o volume do sólido no primeiro octante abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede: usar integral tripla em coordenadas retangulares para calcular o volume do sólido no primeiro octante abaixo do plano
.
Informações dadas e o que isso implica:
- O plano é
. - “Primeiro octante” significa
, , . - O sólido é o conjunto de pontos com
, , e abaixo do plano: . - A projeção do sólido no plano
(região ) é dada pelas condições , e , ou seja . Portanto é o triângulo com vértices , , .
Passo 2
Escrever a integral tripla para o volume
. Em coordenadas retangulares o elemento de volume é
. Logo
Como o limite em
é de
até
, e a projeção no plano
é
, podemos reduzir a integral a uma dupla:
Aqui
é o elemento de área no plano
.
Passo 3
Escolher uma ordem conveniente para integrar sobre
. O triângulo
pode ser descrito por
Portanto escrevemos o iterado como
A escolha
é natural porque o limite em
é diretamente dado pela equação do plano.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Como integrando é
em relação a
,
Essa operação significa: para cada ponto
no triângulo, a “altura” do sólido em
é
.
Passo 5
Substituir o resultado na integral dupla e escrever explicitamente:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Primeiro achar a primitiva de
em
:
Agora avaliar entre
e
:
Passo 7
Agora a integral em
fica
Calcular a primitiva em
:
Avaliar de
a
:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 8
Interpretação rápida como checagem: o sólido é um tetraedro com interceptos igual a
nos eixos, e o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano
é
. Aqui
, então
, consistente com o cálculo por integrais.