Localize todos os pontos P(x, y, z) de máximo, de mînimo relativo e os pontos de sela(caso existam), na funçāo abaixo,
f(x, y)=3 x y-\frac{3 x^{2}}{2}+3 y+2

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=3xy-\frac{3x^{2}}{2}+3y+2
e pede para localizar todos os pontos de máximo relativo, de mínimo relativo e os pontos de sela (se existirem).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é definida em termos de x e y.
  • Queremos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais.
Breve explicação didática: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \partial f/\partial x ou f_x, é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo. Similar para f_y. Para encontrar pontos críticos, colocamos ambas as derivadas parciais iguais a zero.
Calcule f_x tratando y como constante:
f(x,y)=3xy-\frac{3x^{2}}{2}+3y+2
Derivando em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(3xy\right) - \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{3x^{2}}{2}\right) + \frac{\partial}{\partial x}\!(3y) + \frac{\partial}{\partial x}\!(2).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{3x^{2}}{2}\right)=3x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(3y)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(2)=0.
Logo
f_x = 3y - 3x.
Agora f_y, tratando x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{3x^{2}}{2}\right)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(2)=0.
Portanto
f_y = 3x + 3.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema
f_x=0,\qquad f_y=0.
Escrevendo:
3y - 3x = 0, \qquad 3x + 3 = 0.
Dividindo cada equação por 3 (para simplificar):
y - x = 0, \qquad x + 1 = 0.
Da segunda equação obtemos
x = -1.
Substituindo na primeira:
y - (-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Portanto existe exatamente um ponto crítico:
P=(-1,-1).

Passo 4

Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Vou explicar a ferramenta que vamos usar: o teste de segunda derivada (teste do discriminante / Hessiano) para funções de duas variáveis.
Definições e intuição:
  • Calcule as segundas derivadas parciais: f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
  • Formamos o discriminante (determinante do Hessiano) no ponto crítico: D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então há mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então há máximo relativo.
  • Se D<0, então o ponto é um ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas para a nossa função.
A partir de f_x = 3y - 3x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(3y - 3x) = -3, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(3y - 3x) = 3.
A partir de f_y = 3x + 3:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(3x + 3) = 0, \qquad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x + 3) = 3,
(observar que f_{xy}=f_{yx}=3, coerente).
Agora o discriminante:
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-3)\cdot 0 - 3^{2} = -9.
Portanto
D = -9 < 0.

Passo 6

Interpretação: como D<0, pelo teste de segunda derivada o ponto crítico P=(-1,-1) é um ponto de sela. Isso significa que, em algumas direções f aumenta ao sair de P e, em outras direções, f diminui — esse comportamento confirma a natureza de sela.
Para ficar mais concreto (exemplo ilustrativo): movendo ao longo da reta y=x próximo a P obtém-se crescimento quadrático, enquanto movendo na direção perpendicular obtém-se decrescimento quadrático. Um cálculo rápido confirma isso:
  • Ao tomar x=-1+t,\;y=-1+t obtém-se f(-1+t,-1+t)=\tfrac{1}{2}+ \tfrac{3}{2}t^{2},que para pequenos t aumenta em relação a t=0.
  • Ao tomar x=-1+t,\;y=-1-t obtém-se f(-1+t,-1-t)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{9}{2}t^{2},que para pequenos t diminui em relação a t=0.
    Isso mostra claramente subida em uma direção e descida em outra — comportamento típico de sela.

Resposta

Pontos de mínimo relativo: nenhum
Pontos de máximo relativo: nenhum
Pontos de sela: P=(-1,-1) com f(-1,-1)=\tfrac{1}{2}

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