Localize todos os pontos
de máximo, de mînimo relativo e os pontos de sela(caso existam), na funçāo abaixo,
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para localizar todos os pontos de máximo relativo, de mínimo relativo e os pontos de sela (se existirem).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é definida em termos de
e . - Queremos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais.
Breve explicação didática: a derivada parcial de em relação a
, denotada
ou
, é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Similar para
. Para encontrar pontos críticos, colocamos ambas as derivadas parciais iguais a zero.
Breve explicação didática: a derivada parcial de
Calcule
tratando
como constante:
Derivando em relação a
:
Termo a termo:
Logo
Agora
, tratando
como constante:
Portanto
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema
Escrevendo:
Dividindo cada equação por
(para simplificar):
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira:
Portanto existe exatamente um ponto crítico:
Passo 4
Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Vou explicar a ferramenta que vamos usar: o teste de segunda derivada (teste do discriminante / Hessiano) para funções de duas variáveis.
Definições e intuição:
- Calcule as segundas derivadas parciais:
- Formamos o discriminante (determinante do Hessiano) no ponto crítico:
Interpretação do teste:
- Se
e , então há mínimo relativo. - Se
e , então há máximo relativo. - Se
, então o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função.
A partir de
:
A partir de
:
(observar que
, coerente).
Agora o discriminante:
Portanto
Passo 6
Interpretação: como
, pelo teste de segunda derivada o ponto crítico
é um ponto de sela. Isso significa que, em algumas direções
aumenta ao sair de
e, em outras direções,
diminui — esse comportamento confirma a natureza de sela.
Para ficar mais concreto (exemplo ilustrativo): movendo ao longo da reta
próximo a
obtém-se crescimento quadrático, enquanto movendo na direção perpendicular obtém-se decrescimento quadrático. Um cálculo rápido confirma isso:
- Ao tomar
obtém-se que para pequenos aumenta em relação a . - Ao tomar
obtém-se que para pequenos diminui em relação a .
Isso mostra claramente subida em uma direção e descida em outra — comportamento típico de sela.
Resposta
Pontos de mínimo relativo: nenhum
Pontos de máximo relativo: nenhum
Pontos de sela: com
Pontos de máximo relativo: nenhum
Pontos de sela: