5 [ 2,0 pontos] - Uma bobina circular de \mathbf{N}=160 espiras tem um raio \mathbf{R = 1 , 9 0} cm e está na presença de um campo magnético de módulo \mathrm{B}=35,0 \mathrm{mT} que faz um ângulo \theta=30^{\circ} com o vetor normal. Considere o momento dipolar magnético de módulo \mu=2,30 \mathrm{~A} \cdot \mathrm{~m}^{2}.
(a) Calcule a corrente que passa pela bobina
(b) Determine o torque máximo na bobina
(c) Determine o torque que a bobina experimenta nesta posição de \theta=30^{\circ}
(d) Determine a energia do sistema na posição \theta=30^{\circ}
(e) Determine as energias máximas e mínimas do sistema
(f) Determine o trabalho a ser realizado pelo torque para fazer girar a bobina da posição de máxima energia para a posição com \theta=30^{\circ}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de espiras: N=160.
    • Raio da bobina: R=1,90\\ \text{cm}=0,0190\\ \text{m}.
    • Campo magnético: B=35,0\\ \text{mT}=0,0350\\ \text{T}.
    • Ângulo entre o vetor normal da bobina e o campo: \theta=30^\circ.
    • Momento dipolar magnético (módulo): \mu=2,30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a corrente I que passa pela bobina.
    (b) Determinar o torque máximo na bobina.
    (c) Determinar o torque quando \theta=30^\circ.
    (d) Determinar a energia do sistema em \theta=30^\circ.
    (e) Determinar as energias máximas e mínimas do sistema.
    (f) Determinar o trabalho realizado pelo torque ao girar a bobina da posição de máxima energia até a posição \theta=30^\circ.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo didático):
  • Momento dipolar magnético de uma bobina circular com N espiras e corrente I tem módulo
\mu = N I A,
onde A é a área da espira (cada espira tem área A=\pi R^{2}). Aqui:
  • \mu é o momento dipolar (unidade \mathrm{A\cdot m^{2}}),
  • N é o número de espiras (adimensional),
  • I é a corrente (unidade A),
  • A é a área de cada espira (unidade \mathrm{m^{2}}).
  • Torque (momento de força) sobre um dipolo magnético em campo \mathbf{B} tem módulo
\tau = \mu B \sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. O torque é máximo quando \sin\varphi=1, portanto
\tau_{\max}=\mu B.
  • Energia potencial magnética do dipolo no campo é
U(\varphi) = -\mu B \cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. Observações:
  • U é mínima quando \cos\varphi=1 ( \varphi=0^\circ), isto é -\mu B.
  • U é máxima quando \cos\varphi=-1 ( \varphi=180^\circ), isto é +\mu B.
  • Trabalho realizado pelo torque (pela força do campo) ao mover o dipolo de uma posição inicial \phi_i para uma final \phi_f é igual à variação de energia potencial com sinal trocado; mais prático: trabalho realizado pelo torque é a redução da energia potencial do sistema:
W = U(\phi_i)-U(\phi_f).
Se essa quantidade for positiva, o campo realiza trabalho sobre o dipolo.

Passo 3

Calcular a área da espira A (cada espira é um círculo de raio R):
A=\pi R^{2}=\pi (0,0190)^{2}.
Vamos calcular passo a passo:
(0,0190)^{2}=0,000361.
A=\pi\times 0,000361\approx 0,001134\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Usar \mu = N I A para achar a corrente I. Isolando I:
I=\frac{\mu}{N A}.
Substituindo os valores:
I=\frac{2,30}{160\times 0,001134}.
Calculemos o denominador:
160\times 0,001134=0,18146\\ (\text{aprox.}).
Logo
I\approx\frac{2,30}{0,18146}\approx 12,7\\ \text{A}.
Interpretação: a corrente necessária para produzir o momento dipolar dado, com 160 espiras desse raio, é cerca de 12,7\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular o torque máximo usando \tau_{\max}=\mu B. Substituindo:
\tau_{\max}=2,30\times 0,0350=0,0805\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação: o torque máximo ocorre quando \boldsymbol{\mu} é perpendicular ao campo ( \varphi=90^\circ), aí \sin\varphi=1.

Passo 6

Calcular o torque na posição \theta=30^\circ. Aqui \varphi=\theta (ângulo entre \mu e B é dado no enunciado). Use
\tau(\theta)=\mu B \sin\theta.
Substituindo:
\tau(30^\circ)=0,0805\times \sin 30^\circ.
Como \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},
\tau(30^\circ)=0,0805\times\tfrac{1}{2}=0,04025\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 0,0403\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Calcular a energia em \theta=30^\circ usando U(\theta)=-\mu B\cos\theta:
U(30^\circ)=-0,0805\times\cos 30^\circ.
Sabendo que \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025,
U(30^\circ)=-0,0805\times 0,866025\approx -0,0697\\ \text{J}.
Interpretação: a energia potencial magnética nessa posição é negativa (mais baixa que zero), o que significa que o dipolo está parcialmente alinhado com o campo.

Passo 8

Determinar as energias máximas e mínimas do sistema:
  • Energia mínima (quando \varphi=0^\circ, alinhado com o campo):
U_{\min}=-\mu B=-0,0805\\ \text{J}.
  • Energia máxima (quando \varphi=180^\circ, anti-alinhado com o campo):
U_{\max}=+\mu B=+0,0805\\ \text{J}.

Passo 9

Calcular o trabalho realizado pelo torque para girar a bobina da posição de máxima energia ( \phi_i=180^\circ) para \theta=30^\circ ( \phi_f=30^\circ).
Usar
W=U(\phi_i)-U(\phi_f).
Substituindo:
U(\phi_i)=U(180^\circ)=+\mu B=+0,0805\\ \text{J},
U(\phi_f)=U(30^\circ)=-0,0697\\ \text{J}.
Portanto
W=0,0805-(-0,0697)=0,0805+0,0697=0,1502\\ \text{J}\approx 0,150\\ \text{J}.
Interpretação: a partir da posição de máxima energia (anti-alinhada), o campo magnético realiza trabalho positivo de aproximadamente 0,150\\ \text{J} ao trazer a bobina até \theta=30^\circ.

Resposta

(a) I = 12,7\\ \mathrm{A}
(b) \tau_{\max}=0,0805\\ \mathrm{N\cdot m}
(c) \tau(30^\circ)=0,0403\\ \mathrm{N\cdot m}
(d) U(30^\circ)=-0,0697\\ \mathrm{J}
(e) U_{\max}=+0,0805\\ \mathrm{J}
U_{\min}=-0,0805\\ \mathrm{J}
(f) W=0,150\\ \mathrm{J}

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