Use uma integral tripla para determinar o volume de:
A região entre o cilindro
e o plano
que é limitado pelos planos
,
e
.
A região entre o cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume da região fechada pelas superfícies
(cilindro parabólico),
(plano) e pelos planos
,
,
,
. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla (ou, equivalentemente, integral dupla do “altura”
). Vamos usar uma projeção no plano
e escrever
.
Passo 2
Precisamos entender onde cada superfície fica acima da outra. A interseção vem de
, ou seja
, logo as curvas de fronteira na projeção são
e
. Para cada
em
, a diferença
pode ser positiva (plano acima) ou negativa (cilindro acima).
Passo 3
Dividimos o domínio de projeção em três regiões para sempre tomar
:
- Região A:
. Aqui e , logo o cilindro está acima do plano. Então a altura é . - Região B:
e . Aqui , o plano está acima, altura . - Região C:
e . Aqui , o cilindro acima, altura .
Passo 4
Calculamos o volume como soma de três integrais:
Região A (
):
Região B (
):
Região C (
):
Passo 5
Somando temos