Use uma integral tripla para determinar o volume de:
A região entre o cilindro z=y^2 e o plano x y que é limitado pelos planos x=0, x=1, y=-1 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região fechada pelas superfícies z=y^2 (cilindro parabólico), z=xy (plano) e pelos planos x=0, x=1, y=-1, y=1. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla (ou, equivalentemente, integral dupla do “altura” ztop-zbot). Vamos usar uma projeção no plano xy e escrever V=integral duplaD (zsup-zinf),dA.

Passo 2

Precisamos entender onde cada superfície fica acima da outra. A interseção vem de y^2=xy, ou seja y(y-x)=0, logo as curvas de fronteira na projeção são y=0 e y=x. Para cada (x,y) em [0,1]times[-1,1], a diferença xy-y^2 pode ser positiva (plano acima) ou negativa (cilindro acima).

Passo 3

Dividimos o domínio de projeção em três regiões para sempre tomar zsup-zinf=|xy-y^2|:
  1. Região A: y<0. Aqui xy<0 e y^2>0, logo o cilindro está acima do plano. Então a altura é y^2-xy.
  2. Região B: y>=0 e y<= x. Aqui xy>= y^2, o plano está acima, altura xy-y^2.
  3. Região C: y>=0 e y>= x. Aqui xy, o cilindro acima, altura y^2-xy.

Passo 4

Calculamos o volume como soma de três integrais:
Região A ( yin[-1,0]):
IA=integralx=0^1integraly=-1^0l(y^2-xyr),dy,dx =integral0^1l[y^33-x,y^22r]-1^0,dx =integral0^1l(13+x2r)dx =13+14=712
Região B ( yin[0,x]):
IB=integralx=0^1integraly=0^xl(xy-y^2r)dy,dx =integral0^1l[x y^22-y^33r]0^x dx =integral0^1x^36,dx=124
Região C ( yin[x,1]):
IC=integralx=0^1integraly=x^1l(y^2-xyr)dy,dx =integral0^1l[y^33-x y^22r]x^1 dx =integral0^1l(13-x2+x^36r)dx=18

Passo 5

Somando temos
V=IA+IB+IC=712+124+18=1824=34

Resposta

34.

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