Calcule uma estimativa para
, de modo que
seja a solução exata do PVI:
utilizando o Método de Runge-Kutta de
Ordem, com
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) onde a função $ y(x) $ satisfaz a equação diferencial $ y’ = -\frac{x}{y} $ com a condição inicial $ y(1) = \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é estimar o valor de $ y $ em $ x = 1,6 $ usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com um passo $ h = 0,2 $.
Para resolver isso, vamos utilizar o Método de Runge-Kutta, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ele nos ajuda a encontrar $ y(1,6) $ de uma maneira mais precisa comparada a métodos mais simples, como o de Euler.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funciona o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem. Ele calcula o valor de $ y $ em um ponto seguinte ($ y_{n+1} $) usando uma combinação ponderada de quatro “inclinações” diferentes (k1, k2, k3, k4). A fórmula geral é:
Onde:
- $ k1 = f(x_n, y_n) $
- $ k2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k1\right) $
- $ k3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k2\right) $
- $ k4 = f(x_n + h, y_n + hk3) $
Aqui, $ f(x, y) = y’ = -\frac{x}{y} $.
Passo 3
Vamos começar com os valores iniciais: $ x_0 = 1 $, $ y_0 = \frac{1}{2} $, e $ h = 0,2 $. Nosso objetivo é chegar até $ x = 1,6 $, então vamos fazer 3 passos:
- De $ x_0 = 1 $ para $ x_1 = 1,2 $
- De $ x_1 = 1,2 $ para $ x_2 = 1,4 $
- De $ x_2 = 1,4 $ para $ x_3 = 1,6 $
Vamos calcular $ y $ em cada ponto usando a fórmula do Runge-Kutta.
Passo 4
Primeiro Passo: $ x_0 = 1 $ para $ x_1 = 1,2 $
- $ y_0 = \frac{1}{2} $
- Calcular $ k1 $:
- Calcular $ k2 $:
- Calcular $ k3 $:
- Calcular $ k4 $:
- Atualizar $ y_1 $:
Passo 5
Segundo Passo: $ x_1 = 1,2 $ para $ x_2 = 1,4 $
- $ y_1 \approx 0,171 $
- Calcular $ k1 $:
- Calcular $ k2 $:
- Calcular $ k3 $:
- Calcular $ k4 $:
- Atualizar $ y_2 $:
Passo 6
Terceiro Passo: $ x_2 = 1,4 $ para $ x_3 = 1,6 $
- $ y_2 \approx -0,006 $
- Calcular $ k1 $:
- Calcular $ k2 $:
- Calcular $ k3 $:
- Calcular $ k4 $:
- Atualizar $ y_3 $:
Resposta
Portanto, a estimativa para $ y(1,6) $ usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com $ h = 0,2 $ é aproximadamente 15,794.