Calcule uma estimativa para y(1,6), de modo que y(x) seja a solução exata do PVI:
utilizando o Método de Runge-Kutta de l y^prime=-xy y(1)=12 Ordem, com 4^a.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) onde a função $ y(x) $ satisfaz a equação diferencial $ y’ = -\frac{x}{y} $ com a condição inicial $ y(1) = \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é estimar o valor de $ y $ em $ x = 1,6 $ usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com um passo $ h = 0,2 $.
Para resolver isso, vamos utilizar o Método de Runge-Kutta, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ele nos ajuda a encontrar $ y(1,6) $ de uma maneira mais precisa comparada a métodos mais simples, como o de Euler.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem. Ele calcula o valor de $ y $ em um ponto seguinte ($ y_{n+1} $) usando uma combinação ponderada de quatro “inclinações” diferentes (k1, k2, k3, k4). A fórmula geral é:
y
Onde:
  • $ k1 = f(x_n, y_n) $
  • $ k2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k1\right) $
  • $ k3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k2\right) $
  • $ k4 = f(x_n + h, y_n + hk3) $
Aqui, $ f(x, y) = y’ = -\frac{x}{y} $.

Passo 3

Vamos começar com os valores iniciais: $ x_0 = 1 $, $ y_0 = \frac{1}{2} $, e $ h = 0,2 $. Nosso objetivo é chegar até $ x = 1,6 $, então vamos fazer 3 passos:
  1. De $ x_0 = 1 $ para $ x_1 = 1,2 $
  2. De $ x_1 = 1,2 $ para $ x_2 = 1,4 $
  3. De $ x_2 = 1,4 $ para $ x_3 = 1,6 $
Vamos calcular $ y $ em cada ponto usando a fórmula do Runge-Kutta.

Passo 4

Primeiro Passo: $ x_0 = 1 $ para $ x_1 = 1,2 $
  • $ y_0 = \frac{1}{2} $
  • Calcular $ k1 $: x0 = 1
  • Calcular $ k2 $: x1 = 1,2
  • Calcular $ k3 $: y0 = 12
  • Calcular $ k4 $: k1
  • Atualizar $ y_1 $: k1 = f(x0, y0) = -112 = -2

Passo 5

Segundo Passo: $ x_1 = 1,2 $ para $ x_2 = 1,4 $
  • $ y_1 \approx 0,171 $
  • Calcular $ k1 $: x1 = 1,2
  • Calcular $ k2 $: x2 = 1,4
  • Calcular $ k3 $: y1 approx 0,171
  • Calcular $ k4 $: k1
  • Atualizar $ y_2 $: k1 = f(1,2, 0,171) = -1,20,171 approx -7,02

Passo 6

Terceiro Passo: $ x_2 = 1,4 $ para $ x_3 = 1,6 $
  • $ y_2 \approx -0,006 $
  • Calcular $ k1 $: x2 = 1,4
  • Calcular $ k2 $: x3 = 1,6
  • Calcular $ k3 $: y2 approx -0,006
  • Calcular $ k4 $: k1
  • Atualizar $ y_3 $: k1 = f(1,4, -0,006) = -1,4-0,006 approx 233,33

Resposta

Portanto, a estimativa para $ y(1,6) $ usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com $ h = 0,2 $ é aproximadamente 15,794.

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