Utilize coordenadas esféricas.
25. Calcule integral triplaE x e^z^2+y^2+z^2 d V, onde E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

A questão pede para calcular o integral triplo de x e^x^2+y^2+z^2 sobre a parte da bola unitária x^2+y^2+z^2<=1 que fica no primeiro octante. O conteúdo envolve mudança para coordenadas esféricas e uso do jacobiano para integrar funções radiais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as seguintes relações: x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi, e o elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Como estamos no primeiro octante, os limites são:
0<=rho<=1, 0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Substituindo no integrando, temos
x e^x^2+y^2+z^2dV = (rhosinphicostheta),e^rho^2;rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta = rho^3 e^rho^2sin^2phicostheta,drho,dphi,dtheta Assim, o integral separa em um produto de um radial por dois angulares.

Passo 4

O integral angular em theta é
integral0^pi/2costheta,dtheta = [sintheta]0^pi/2=1,
e o angular em phi é
integral0^pi/2sin^2phi,dphi = pi4

Passo 5

O integral radial fica
integral0^1rho^3 e^rho^2,drho Fazendo a troca de variável u=rho^2, temos du=2rho,drho e rho^3drho = tfrac12 u,du. Então
integral0^1rho^3 e^rho^2,drho = 12integral0^1u e^u,du = 12[(u-1)e^u]0^1 = 12cdot1 = 12

Passo 6

Juntando tudo, o integral total é
l(1r)timesl(pi4r)timesl(12r) = pi8

Resposta

dfracpi8

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