Utilize coordenadas esféricas.
25. Calcule
, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
25. Calcule
Passo 1
A questão pede para calcular o integral triplo de
sobre a parte da bola unitária
que fica no primeiro octante. O conteúdo envolve mudança para coordenadas esféricas e uso do jacobiano para integrar funções radiais.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as seguintes relações:
,
,
, e o elemento de volume é
. Como estamos no primeiro octante, os limites são:
Passo 3
Substituindo no integrando, temos
Passo 4
O integral angular em
é
e o angular em
é
Passo 5
O integral radial fica
Passo 6
Juntando tudo, o integral total é