Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado (Lembre-se que o volume de uma integral tripla é dado por
):
O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
O sólido limitado pelo cilindro parabólico
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies: o cilindro parabólico
, o plano
e o plano
. Informações relevantes que temos:
- A superfície
é um cilindro parabólico: a equação não envolve , logo essa curva no plano se estende para cima e para baixo em . - O plano
é a base (chão) do sólido. - O plano
pode ser escrito como ; é o teto inclinado do sólido. - O volume pedido é dado por
, onde é a região sólida descrita acima.
Passo 2
Primeiro temos que entender a projeção do sólido no plano
(isso ajuda a definir os limites das integrais). As observações chave:
- Como
vai de até , é necessário ter , isto é . - A superfície lateral é dada por
. Para formar uma região fechada no plano combinando e a reta (interseção do teto com ), a projeção no plano é
- A condição
dá . Portanto, podemos parametrizar por
Passo 3
Agora escrevemos a integral tripla e reduzimos ao cálculo de uma integral dupla usando a integral em
primeiro:
Calcule a integral interna em
:
Logo
Passo 4
Escolhendo a ordem
(porque para cada
fixo
varia entre
e
), obtemos
Isso faz sentido porque para um
fixo estamos indo do parabola
até a reta
.
Passo 5
Calcule a integral interna em
passo a passo. Antiderivada de
em relação a
é
. Assim
Simplificando:
Portanto
Passo 6
Agora calculamos a integral em
. Como o integrando é função par (mesmo), podemos usar simetria ou calcular diretamente:
Substituindo:
Colocando em denominador comum
:
logo
Multiplicando pelo fator
:
Passo 7
Resultado final: o volume do sólido é
. Dica rápida para a prova: identifique sempre a projeção no plano base (aqui o plano
) encontrando onde o teto cruza o chão (aqui
) e use a superfície que não depende de
(aqui
) para obter limites laterais fáceis. Mantém calma — montar a integral corretamente é a parte mais importante; as contas finais costumam simplificar bem.