Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado (Lembre-se que o volume de uma integral tripla é dado por \iiint_{E} 1 d V ):
O sólido limitado pelo cilindro parabólico y=x^{2} e pelos planos z=0 e y+z=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies: o cilindro parabólico y=x^{2}, o plano z=0 e o plano y+z=1. Informações relevantes que temos:
  • A superfície y=x^{2} é um cilindro parabólico: a equação não envolve z, logo essa curva no plano xy se estende para cima e para baixo em z.
  • O plano z=0 é a base (chão) do sólido.
  • O plano y+z=1 pode ser escrito como z=1-y; é o teto inclinado do sólido.
  • O volume pedido é dado por \displaystyle V=\iiint_{E} 1\,dV, onde E é a região sólida descrita acima.

Passo 2

Primeiro temos que entender a projeção do sólido no plano xy (isso ajuda a definir os limites das integrais). As observações chave:
  • Como z vai de 0 até 1-y, é necessário ter 1-y\ge 0, isto é y\le 1.
  • A superfície lateral é dada por y=x^{2}. Para formar uma região fechada no plano xy combinando y=x^{2} e a reta y=1 (interseção do teto com z=0), a projeção D no plano xy é
D=\{(x,y)\mid x^2\le y\le 1\}.
  • A condição x^2\le 1 -1\le x\le 1. Portanto, podemos parametrizar D por
-1\le x\le 1,\qquad x^{2}\le y\le 1.

Passo 3

Agora escrevemos a integral tripla e reduzimos ao cálculo de uma integral dupla usando a integral em z primeiro:
V=\iiint_{E}1\,dV=\iint_{D}\left(\int_{z=0}^{z=1-y}1\,dz\right)dA.
Calcule a integral interna em z:
\int_{0}^{1-y}1\,dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{1-y}=1-y.
Logo
V=\iint_{D}(1-y)\,dA.

Passo 4

Escolhendo a ordem \,dy\,dx (porque para cada x fixo y varia entre x^{2} e 1), obtemos
V=\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{1}(1-y)\,dy\right)dx.
Isso faz sentido porque para um x fixo estamos indo do parabola y=x^{2} até a reta y=1.

Passo 5

Calcule a integral interna em y passo a passo. Antiderivada de 1-y em relação a y é y-\dfrac{y^{2}}{2}. Assim
\int_{y=x^{2}}^{1}(1-y)\,dy=\left[y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=1} = \left(1-\frac{1}{2}\right) - \left(x^{2}-\frac{x^{4}}{2}\right).
Simplificando:
1-\frac{1}{2}-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}=\frac{1}{2}-x^{2}+\frac{x^{4}}{2} =\frac{1-2x^{2}+x^{4}}{2}=\frac{(1-x^{2})^{2}}{2}.
Portanto
V=\int_{-1}^{1}\frac{(1-x^{2})^{2}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1-2x^{2}+x^{4})\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a integral em x. Como o integrando é função par (mesmo), podemos usar simetria ou calcular diretamente:
\int_{-1}^{1}1\,dx = 2,\qquad \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \frac{2}{3},\qquad \int_{-1}^{1}x^{4}\,dx = \frac{2}{5}.
Substituindo:
\int_{-1}^{1}(1-2x^{2}+x^{4})\,dx = 2 - 2\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
2 = \frac{30}{15},\quad 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}=\frac{20}{15},\quad \frac{2}{5}=\frac{6}{15},
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2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{30-20+6}{15}=\frac{16}{15}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2}:
V=\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{15}=\frac{8}{15}.

Passo 7

Resultado final: o volume do sólido é \dfrac{8}{15}. Dica rápida para a prova: identifique sempre a projeção no plano base (aqui o plano xy) encontrando onde o teto cruza o chão (aqui y=1) e use a superfície que não depende de z (aqui y=x^{2}) para obter limites laterais fáceis. Mantém calma — montar a integral corretamente é a parte mais importante; as contas finais costumam simplificar bem.

Resposta

\dfrac{8}{15}

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