Seja f a função de R em R definida por
\begin{aligned} f(x) & =x, & & x \text { tracional, } \\\ & =1-x, & & x \text { racional. } \end{aligned}
Mostre que f é contínua somente em x=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \[f(x)=\begin{cases} x, & x\\ \text{irracional},\\[4pt] 1-x, & x\\ \text{racional}. \end{cases}
O que se pede: mostrar que f\] é contínua somente em \(x=\dfrac{1}{2}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Para qualquer número irracional x, vale f(x)=x.
  • Para qualquer número racional x, vale f(x)=1-x.
  • É preciso provar duas coisas: (i) f é contínua em x=\dfrac{1}{2}; (ii) para qualquer a\neq \dfrac{1}{2} f não é contínua em a.]

Passo 2

Vamos recordar duas ferramentas que usaremos (explicadas de forma simples).
  1. Definição epsilon-delta de continuidade (intuição): dizer que f é contínua em a significa que, se x fica suficientemente próximo de a, então f(x) fica próximo de f(a). Formalmente: f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
  2. Critério sequencial (muito prático aqui): f é contínua em a se e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\to a, vale f(x_n)\to f(a). Este critério é útil porque permite construir duas sequências diferentes que tendem para o mesmo a e ver se as imagens convergem para o mesmo valor ou não.
Também precisamos de um fato simples sobre os reais:
  • Os racionais são densos em \mathbb{R}: para todo a existe uma sequência racional q_n\to a.
  • Os irracionais também são densos em \mathbb{R}: para todo a existe uma sequência irracional r_n\to a.
    (Explicação prática: por exemplo, os truncamentos decimais de a são racionais; e r_n=a+\dfrac{\sqrt{2}}{n} são irracionais e tendem a a.)

Passo 3

Provar que f é contínua em x=\dfrac{1}{2}.
Primeiro calcule f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr). Se x=\tfrac{1}{2} (que é racional), então
f\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Queremos mostrar que \lim_{x\to 1/2} f(x)=\tfrac{1}{2}. Use a definição epsilon-delta: seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome \delta=\varepsilon. Agora, para qualquer x com |x-\tfrac{1}{2}|<\delta há duas possibilidades:
  • Se x é irracional, então f(x)=x, logo
|f(x)-f(\tfrac{1}{2})|=|x-\tfrac{1}{2}|<\delta=\varepsilon.
  • Se x é racional, então f(x)=1-x, logo
|f(x)-f(\tfrac{1}{2})|=\bigl|1-x-\tfrac{1}{2}\bigr|=\bigl|\tfrac{1}{2}-x\bigr|=|x-\tfrac{1}{2}|<\delta=\varepsilon.
Em ambos os casos |f(x)-f(\tfrac{1}{2})|<\varepsilon. Assim, para esse \delta vale a condição da continuidade. Concluímos que f é contínua em x=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Provar que f não é contínua em qualquer ponto a\neq \dfrac{1}{2}.
Seja a\in\mathbb{R} com a\neq \tfrac{1}{2}. Vamos usar o critério sequencial e as densidades mencionadas.
Construa duas sequências que convergem para a:
  • Uma sequência racional (q_n) tal que q_n\to a. (Por exemplo, tomar os truncamentos decimais de a dá números racionais tendendo a a.)
  • Uma sequência irracional (r_n) tal que r_n\to a. (Por exemplo, definir r_n=a+\dfrac{\sqrt{2}}{n}; cada r_n é irracional e r_n\to a.)
Agora avalie f nessas sequências:
  • Para a sequência racional (q_n) vale f(q_n)=1-q_n. Como q_n\to a, então
f(q_n)=1-q_n \longrightarrow 1-a.
  • Para a sequência irracional (r_n) vale f(r_n)=r_n. Como r_n\to a, então
f(r_n)=r_n \longrightarrow a.
Portanto as duas imagens têm limites diferentes: \lim f(q_n)=1-a e \lim f(r_n)=a. Como a\neq \tfrac{1}{2} implica a\neq 1-a (pois a=1-a a=\tfrac{1}{2}), os dois limites são realmente distintos. Logo não existe um limite único \lim_{x\to a} f(x). Pelo critério sequencial isso significa que f não é contínua em a.

Passo 5

Juntando os resultados:
  • Mostramos que f é contínua em x=\dfrac{1}{2}.
  • Mostramos que, para qualquer a\neq \dfrac{1}{2}, f não é contínua em a.
Portanto f é contínua somente em x=\dfrac{1}{2}.

Resposta

f é contínua somente em x=\dfrac{1}{2}.

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