Calcule a integral tripla:
\iiint_{E} e^{z / y} d V, onde E=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1,0 \leq z \leq x y\right\} (Dica: considere integraçāo por partes)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral tripla
\iiint_{E} e^{z/y}\,dV,
onde a região E é
E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 1,\; y\le x\le 1,\; 0\le z\le x y\}.
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável y varia entre \,0 e \,1.
  • Para cada y fixo, x varia de x=y até x=1.
  • Para cada par (x,y) fixo, z varia de z=0 até z=xy.
  • A função integranda é e^{z/y}, que depende de z e y (quando y=0 a expressão z/y parece problemática, mas na região y toma valores em [0,1] e o limite no sentido da integral será tratado ao integrar em z para y>0; como a região inclui y=0 de medida zero, a integral é bem definida pelo cálculo iterado).

Passo 2

Escolher a ordem de integração e começar a integrar. Como os limites já estão dados na forma 0\le y\le1,\\ y\le x\le1,\\\ 0\le z\le xy, a ordem natural é integrar primeiro em z, depois em x e por fim em y. Assim:
\iiint_{E} e^{z/y}\,dV =\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{1}\int_{z=0}^{xy} e^{z/y}\,dz\,dx\,dy.
Agora vamos calcular a integral interna \int_{0}^{xy} e^{z/y}\,dz.

Passo 3

Calcular \int_{0}^{xy} e^{z/y}\,dz. Aqui é útil ver duas maneiras (vou usar a mais direta e comentar a regra da cadeia):
Observação: a primitiva de e^{z/y} em relação a z pode ser obtida por substituição u=\dfrac{z}{y} ou reconhecendo a regra da cadeia: se F(z)=y e^{z/y} então
F'(z)=y\cdot \frac{d}{dz}\bigl(e^{z/y}\bigr)=y\cdot e^{z/y}\cdot\frac{1}{y}=e^{z/y}.
Logo uma primitiva é y e^{z/y}. Aplicando os limites:
\int_{0}^{xy} e^{z/y}\,dz = \bigl[y e^{z/y}\bigr]_{z=0}^{z=xy} = y\bigl(e^{(xy)/y}-e^{0}\bigr) = y\bigl(e^{x}-1\bigr).
Breve explicação didática: na substituição u=z/y temos dz=y\,du, de modo que \int e^{z/y}dz=\int e^{u}\,y\,du=y e^{u}+C = y e^{z/y}+C. Isso confirma o resultado acima.

Passo 4

Substituir o resultado da integral em z na integral dupla remanescente:
\iiint_{E} e^{z/y}\,dV =\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} y\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx\,dy.
Agora vamos integrar em x: para y fixo, y é constante em relação a x. Então
\int_{x=y}^{1} y\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = y\int_{y}^{1}\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx.
Calcular a primitiva de e^{x}-1 em x: é e^{x}-x + C. Portanto
\int_{y}^{1}\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = \bigl[e^{x}-x\bigr]_{x=y}^{x=1} = \bigl(e-1\bigr) - \bigl(e^{y}-y\bigr).
Multiplicando por y:
\int_{y}^{1} y\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = y\bigl(e-1 - e^{y}+y\bigr).

Passo 5

Simplificar o integrando em y antes de integrar:
y\bigl(e-1 - e^{y}+y\bigr) = y(e-1) - y e^{y} + y^{2}.
Assim a integral final em y é
\int_{0}^{1}\bigl( y(e-1) - y e^{y} + y^{2}\bigr)\,dy.
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Calcular \int_{0}^{1} y(e-1)\,dy. Como (e-1) é constante:
\int_{0}^{1} y(e-1)\,dy = (e-1)\int_{0}^{1} y\,dy = (e-1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}.

Passo 7

Calcular \int_{0}^{1} y^{2}\,dy:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 8

Calcular \int_{0}^{1} y e^{y}\,dy (aqui entra a dica do enunciado: usar integração por partes).
Lembrete da fórmula de integração por partes (uma “fórmula-auxílio” muito útil): para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha u=y e dv=e^{y}\,dy. Então du=dy e v=e^{y}. Aplicando:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}(y-1)\bigr]_{0}^{1} = \bigl(e(1-1)\bigr) - \bigl(1(0-1)\bigr) = 0 - (-1) = 1.
Portanto \int_{0}^{1} -y e^{y}\,dy = -1.

Passo 9

Somar os termos obtidos:
\iiint_{E} e^{z/y}\,dV = \frac{e-1}{2} \;+\; \left(-1\right) \;+\; \frac{1}{3}.
Calcular a soma: primeiro -1+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}. Então
\frac{e-1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3(e-1)-4}{6} = \frac{3e-3-4}{6} = \frac{3e-7}{6}.

Resposta

\dfrac{3e-7}{6}

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