Calcule a integral tripla:
, onde
(Dica: considere integraçāo por partes)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral tripla
onde a região
é
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
varia entre e . - Para cada
fixo, varia de até . - Para cada par
fixo, varia de até . - A função integranda é
, que depende de e (quando a expressão parece problemática, mas na região toma valores em e o limite no sentido da integral será tratado ao integrar em para ; como a região inclui de medida zero, a integral é bem definida pelo cálculo iterado).
Passo 2
Escolher a ordem de integração e começar a integrar. Como os limites já estão dados na forma
, a ordem natural é integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
. Assim:
Agora vamos calcular a integral interna
.
Passo 3
Calcular
. Aqui é útil ver duas maneiras (vou usar a mais direta e comentar a regra da cadeia):
Observação: a primitiva de
em relação a
pode ser obtida por substituição
ou reconhecendo a regra da cadeia: se
então
Logo uma primitiva é
. Aplicando os limites:
Breve explicação didática: na substituição
temos
, de modo que
. Isso confirma o resultado acima.
Passo 4
Substituir o resultado da integral em
na integral dupla remanescente:
Agora vamos integrar em
: para
fixo,
é constante em relação a
. Então
Calcular a primitiva de
em
: é
. Portanto
Multiplicando por
:
Passo 5
Simplificar o integrando em
antes de integrar:
Assim a integral final em
é
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Calcular
. Como
é constante:
Passo 7
Calcular
:
Passo 8
Calcular
(aqui entra a dica do enunciado: usar integração por partes).
Lembrete da fórmula de integração por partes (uma “fórmula-auxílio” muito útil): para funções
e
diferenciáveis,
Escolha
e
. Então
e
. Aplicando:
Avaliar de
a
:
Portanto
.
Passo 9
Somar os termos obtidos:
Calcular a soma: primeiro
. Então