Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 3 x+y+z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o volume de um tetraedro usando uma integral tripla. O tetraedro é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação 3x + y + z = 6. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como os limites de integração são definidos. Vamos visualizar o tetraedro no espaço tridimensional. Os planos coordenados delimitam o primeiro octante, onde x, y e z são positivos. O plano 3x + y + z = 6 corta esse octante, formando o tetraedro.
Para configurar a integral tripla, precisamos expressar os limites de z em termos de x e y, os limites de y em termos de x, e os limites de x. Vamos resolver a equação do plano para z:
z = 6 - 3x - y
Então, z varia de 0 a 6 - 3x - y.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para y. Para um valor fixo de x, y varia de 0 até o ponto onde 6 - 3x - y = 0, ou seja:
y = 6 - 3x
Portanto, y varia de 0 a 6 - 3x.

Passo 4

Finalmente, precisamos encontrar os limites para x. Observando quando y e z são zero na equação do plano:
3x = 6 implies x = 2
Então, x varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume V:
V = integral0^2 integral0^6 - 3x integral0^6 - 3x - y dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Começamos integrando em relação a z:
integral0^6 - 3x - y dz = [ z ]0^6 - 3x - y = 6 - 3x - y
Então, a integral fica:
V = integral0^2 integral0^6 - 3x (6 - 3x - y) , dy , dx

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:
integral0^6 - 3x (6 - 3x - y) , dy = [ (6 - 3x)y - y^22 ]0^6 - 3x
Substituindo os limites:
= (6 - 3x)(6 - 3x) - (6 - 3x)^22
= (6 - 3x)^2 - (6 - 3x)^22
= (6 - 3x)^22
Então, a integral agora é:
V = integral0^2 (6 - 3x)^22 , dx

Passo 8

Vamos expandir (6 - 3x)^2:
(6 - 3x)^2 = 36 - 36x + 9x^2
Substituindo na integral:
V = 12 integral0^2 (36 - 36x + 9x^2) , dx
= 12 [ 36x - 18x^2 + 3x^3 ]0^2

Passo 9

Substituímos x = 2 e x = 0:
= 12 [ 36(2) - 18(2)^2 + 3(2)^3 - (0) ]
= 12 [ 72 - 72 + 24 ]
= 12 times 24 = 12

Resposta

O volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x + y + z = 6 é 12 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados