Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o volume de um tetraedro usando uma integral tripla. O tetraedro é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como os limites de integração são definidos. Vamos visualizar o tetraedro no espaço tridimensional. Os planos coordenados delimitam o primeiro octante, onde x, y e z são positivos. O plano
corta esse octante, formando o tetraedro.
Para configurar a integral tripla, precisamos expressar os limites de z em termos de x e y, os limites de y em termos de x, e os limites de x. Vamos resolver a equação do plano para z:
Então, z varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para y. Para um valor fixo de x, y varia de 0 até o ponto onde
, ou seja:
Portanto, y varia de 0 a
.
Passo 4
Finalmente, precisamos encontrar os limites para x. Observando quando y e z são zero na equação do plano:
Então, x varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Começamos integrando em relação a z:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a y:
Substituindo os limites:
Então, a integral agora é:
Passo 8
Vamos expandir
:
Substituindo na integral:
Passo 9
Substituímos x = 2 e x = 0:
Resposta
O volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
é 12 unidades cúbicas.