Demonstre, usando a Definição 1 , que
lim (x, y) (a, b) x=a

Passo 1

Estamos querendo provar que a função f(x,y)=x tem limite igual a a quando (x,y)→(a,b). O conteúdo aqui é a definição ε–δ de limite em ℝ², e vamos usar a Definição 1, que diz que dado ε>0 existe δ>0 tal que se 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ então |f(x,y)−L|<ε.

Passo 2

Segundo a definição, precisamos mostrar: para todo ε>0 existe δ>0 tal que, sempre que 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ, teremos |x−a|<ε.
Note que a própria distância no plano dá uma estimativa:
|x-a| <= raiz(x-a)^2+(y-b)^2

Passo 3

Então basta escolher δ=ε. De fato, se 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ=ε, então
|x-a| <= raiz(x-a)^2+(y-b)^2 < ε

Passo 4

Assim, para todo ε>0 existe δ=ε>0 que garante |x−a|<ε sempre que 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ, provando o limite desejado.

Resposta

Concluímos que lim(x,y)to(a,b) x = a.

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