Demonstre, usando a Definição 1 , que
Passo 1
Estamos querendo provar que a função f(x,y)=x tem limite igual a a quando (x,y)→(a,b). O conteúdo aqui é a definição ε–δ de limite em ℝ², e vamos usar a Definição 1, que diz que dado ε>0 existe δ>0 tal que se 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ então |f(x,y)−L|<ε.
Passo 2
Segundo a definição, precisamos mostrar: para todo ε>0 existe δ>0 tal que, sempre que 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ, teremos |x−a|<ε.
Note que a própria distância no plano dá uma estimativa:
Note que a própria distância no plano dá uma estimativa:
Passo 3
Então basta escolher δ=ε. De fato, se 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ=ε, então
Passo 4
Assim, para todo ε>0 existe δ=ε>0 que garante |x−a|<ε sempre que 0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ, provando o limite desejado.
Resposta
Concluímos que
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