Calcule
onde
é a região no primeiro quadrante dentro do círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região no primeiro quadrante dentro do círculo definido por
. Vamos precisar usar a matéria de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, já que a função e a região têm simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A equação
pode ser reescrita para facilitar a interpretação. Vamos reorganizar:
Isso mostra que a região
é um círculo de raio 1, centrado em
. Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar apenas a parte desse círculo que está onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a função
se simplifica para
na forma polar, o que facilita a integração. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, a função que estamos integrando se torna simplesmente
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo
em coordenadas polares fica:
Ignoramos
porque estamos considerando pontos dentro do círculo, então
. Portanto, para cada ângulo
,
varia de 0 a
.
No primeiro quadrante,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
Aqui,
vem do fato de que a função integranda é
e o elemento de área
é
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Para resolver
, podemos usar a identidade
. Vamos fazer a substituição:
Vamos deixar
, então
. Isso transforma a integral em:
Então, a integral definida é:
Passo 9
Agora, voltamos à integral original:
Resposta
O valor da integral dupla é
.