Calcule integral duplaD raizx^2+y^2 d A onde D é a região no primeiro quadrante dentro do círculo x^2=2 y-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaD raizx^2+y^2 , dA, onde D é a região no primeiro quadrante dentro do círculo definido por x^2 = 2y - y^2. Vamos precisar usar a matéria de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, já que a função e a região têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. A equação x^2 = 2y - y^2 pode ser reescrita para facilitar a interpretação. Vamos reorganizar:
x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y^2 - 2y) = 0 x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso mostra que a região D é um círculo de raio 1, centrado em (0,1). Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar apenas a parte desse círculo que está onde x >= 0 e y >= 0.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a função raizx^2+y^2 se simplifica para r na forma polar, o que facilita a integração. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta
Além disso, a função que estamos integrando se torna simplesmente r.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo x^2 + (y - 1)^2 = 1 em coordenadas polares fica:
(r costheta)^2 + (r sintheta - 1)^2 = 1 r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta - 2r sintheta + 1 = 1 r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 2r sintheta = 0 r^2 - 2r sintheta = 0 r (r - 2 sintheta) = 0
Ignoramos r = 0 porque estamos considerando pontos dentro do círculo, então r = 2 sintheta. Portanto, para cada ângulo theta, r varia de 0 a 2 sintheta.
No primeiro quadrante, theta varia de 0 a pi2.

Passo 5

Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
integral duplaD raizx^2+y^2 , dA = integral0^pi2 integral0^2 sintheta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 sintheta r^2 , dr , dtheta
Aqui, r cdot r vem do fato de que a função integranda é r e o elemento de área dA é r , dr , dtheta.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^2 sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 sintheta = (2 sintheta)^33 = 8 sin^3theta3

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 8 sin^3theta3 , dtheta = 83 integral0^pi2 sin^3theta , dtheta

Passo 8

Para resolver integral sin^3theta , dtheta, podemos usar a identidade sin^3theta = sintheta (1 - cos^2theta). Vamos fazer a substituição:
integral sin^3theta , dtheta = integral sintheta (1 - cos^2theta) , dtheta
Vamos deixar u = costheta, então du = -sintheta , dtheta. Isso transforma a integral em:
- integral (1 - u^2) , du = - ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C = -costheta + cos^3theta3 + C
Então, a integral definida é:
integral0^pi2 sin^3theta , dtheta = [ -costheta + cos^3theta3 ]0^pi2 = ( -0 + 0^33 ) - ( -1 + 1^33 ) = 0 - ( -1 + 13 ) = 23

Passo 9

Agora, voltamos à integral original:
83 integral0^pi2 sin^3theta , dtheta = 83 cdot 23 = 169

Resposta

O valor da integral dupla é 169.

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