✓ Use a interpolação Padrão para resolver as atividades abaixo.
✓ Quando necessário, use arredondamento com pelo menos 4 casas decimais.
✓ Todo sistema linear deve ser resolvido pelo método de Gauss ou Gauss- Jordan.
Considere a tabela:
x y
4,0 18,6
8,0 25,8
a) Encontre uma equação para a reta que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=5,5.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,5.

Passo 1

O enunciado dá duas observações (dois pontos) e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • Ponto 1: (x_1,y_1) = (4,0,\;18,6).
  • Ponto 2: (x_2,y_2) = (8,0,\;25,8).
O que é pedido:
a) Encontrar uma equação para a reta que passa por esses dois pontos.
b) Estimar o valor de y quando x=5,5.
c) Estimar o valor de y quando x=7,5.

Passo 2

Modelo geral da reta e o que cada parâmetro significa.
Vamos representar a reta por
y = m x + b
onde:
  • [m) é a inclinação (ou coeficiente angular): indica quanto y cresce quando x aumenta de uma unidade;
  • b é o coeficiente linear (intercepto): é o valor de y quando x=0.
Para achar m e b usamos que a reta passa pelos dois pontos dados, então ambos satisfazem a equação. Isso gera um sistema linear de duas equações com duas incógnitas:
\begin{cases} 4,0\,m + 1\,b = 18,6,\\[4pt] 8,0\,m + 1\,b = 25,8. \end{cases}
Como o enunciado exige resolver sistemas lineares por Gauss/Gauss–Jordan, vamos resolver esse sistema por Gauss–Jordan.
Formamos a matriz aumentada (colocando as colunas m\], \(b e a coluna de termos independentes):
\left[\begin{array}{cc|c} 4,0 & 1 & 18,6\\[4pt] 8,0 & 1 & 25,8 \end{array}\right]
Passo Gauss–Jordan:
  1. Tornar zero o elemento abaixo do pivô da primeira coluna: R_2 \leftarrow R_2 - 2\cdot R_1.
\left[\begin{array}{cc|c} 4,0 & 1 & 18,6\\[4pt] 0 & -1 & -11,4 \end{array}\right]
  1. Multiplicar a segunda linha por -1 para ter pivô positivo:
\left[\begin{array}{cc|c} 4,0 & 1 & 18,6\\[4pt] 0 & 1 & 11,4 \end{array}\right]
  1. Eliminar o coeficiente acima do pivô da segunda coluna: R_1 \leftarrow R_1 - 1\cdot R_2.
\left[\begin{array}{cc|c} 4,0 & 0 & 7,2\\[4pt] 0 & 1 & 11,4 \end{array}\right]
  1. Finalmente, dividir a primeira linha por 4,0 para obter o valor de m:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1,8\\[4pt] 0 & 1 & 11,4 \end{array}\right]
Portanto:
m = 1,8,\qquad b = 11,4.]

Passo 3

Escrevendo a equação da reta com os valores encontrados:
y = 1,8\,x + 11,4.
Explicação didática curta sobre como usar essa reta na prova: uma vez que se tem m e b, para qualquer valor de x substitui-se na expressão y=mx+b e calcula-se y. Se precisar de arredondamento, use pelo menos 4 casas decimais; aqui os números são exatos com uma casa decimal.

Passo 4

Estimativa para y quando \,x=5,5.
Substituir na equação:
y(5,5) = 1,8\cdot 5,5 + 11,4.
Calcule passo a passo:
1,8\cdot 5,5 = 9,9,
y(5,5) = 9,9 + 11,4 = 21,3.

Passo 5

Estimativa para y quando \,x=7,5.
Substituir na equação:
y(7,5) = 1,8\cdot 7,5 + 11,4.
Calcule passo a passo:
1,8\cdot 7,5 = 13,5,
y(7,5) = 13,5 + 11,4 = 24,9.

Resposta

y = 1,8x + 11,4
y(5,5) = 21,3
y(7,5) = 24,9

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