Os sistemas dados a seguir têm a entrada x(t) ou x[n] e saída y(t) ou y[n], respectivamente. Determine se cada um deles é (i) sem memória, (ii) estável, (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante no tempo e justifque suas respostas.
y(t)=\frac{d}{d t}\left[e^{-t} x(t)\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema contínuo
y(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t)\big]
e pede para decidir, com justificativa, se o sistema é:
(i) sem memória, (ii) estável (BIBO), (iii) causal, (iv) linear, (v) invariante no tempo.
Informações relevantes fornecidas:
\text{entrada: } x(t),\qquad \text{saída: } y(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t)\big].í

Passo 2

Definição e teste para “sem memória” (memoryless).
Definição: um sistema é sem memória se, para todo instante t_0, o valor y(t_0) depende apenas do valor x(t_0) (e não de valores de x em instantes diferentes de t_0). Em outras palavras, conhecer x(t_0) é suficiente para determinar y(t_0).
Aplicação ao sistema: calculemos explicitamente a derivada usando a regra do produto:
y(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t)\big] = -e^{-t}x(t) + e^{-t}x'(t) = e^{-t}\big(x'(t)-x(t)\big).
Aqui aparece x'(t), a derivada de x em t. A derivada x'(t) não é determinada apenas pelo valor de x(t); ela envolve a variação de x em torno de t (valores de x em instantes próximos a t). Portanto y(t) depende de mais do que apenas x(t).
Exemplo explícito para fixar a ideia: considere t_0=0, x_1(t)\equiv 0 e x_2(t)=t. Temos x_1(0)=x_2(0)=0, mas
y_1(0)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}\cdot 0\big]\Big|_{t=0}=0, \qquad y_2(0)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}\cdot t\big]\Big|_{t=0}=1.
Como outputs diferentes com mesma entrada em t=0, o sistema tem memória (não é sem memória).
Conclusão: o sistema não é sem memória.

Passo 3

Definição e teste para “linearidade”.
Definição: um sistema T é linear se para quaisquer sinais x_1,x_2 e escalares a,b vale
T\{a x_1 + b x_2\} = a\,T\{x_1\} + b\,T\{x_2\}.
Teste aplicado: seja x(t)=a x_1(t)+b x_2(t). Então
T\{x\}=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(a x_1(t)+b x_2(t))\big] = a\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x_1(t)\big]+ b\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x_2(t)\big] = a\,T\{x_1\}+b\,T\{x_2\}.
Argumento direto: a derivada é um operador linear e a multiplicação por e^{-t} é linear em x (para cada t fixa-se um coeficiente). Assim a composição preserva linearidade.
Conclusão: o sistema é linear.

Passo 4

Definição e teste para “invariância no tempo” (time-invariance).
Definição: um sistema T é invariante no tempo se, para todo deslocamento t_0,
T\{x(t-t_0)\}(t) = y(t-t_0),
onde y(t)=T\{x\}(t). Ou seja, deslocar a entrada em t_0 desloca a saída em t_0 (sem alterar a forma).
Teste aplicado: tome x_{t_0}(t)=x(t-t_0). Então
T\{x_{t_0}\}(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t-t_0)\big] = e^{-t}\big( x'(t-t_0) - x(t-t_0)\big).
Por outro lado, a saída correspondente ao sinal não deslocado avaliada em t-t_0 é
T\{x\}(t-t_0)=\frac{d}{d\tau}\big[e^{-\tau}x(\tau)\big]\Big|_{\tau=t-t_0} = e^{-(t-t_0)}\big( x'(t-t_0) - x(t-t_0)\big).
Comparando,
T\{x_{t_0}\}(t) = e^{-t}\big( x'(t-t_0) - x(t-t_0)\big),
T\{x\}(t-t_0) = e^{t_0}e^{-t}\big( x'(t-t_0) - x(t-t_0)\big).
São iguais somente se e^{t_0}=1 (isto é, t_0=0). Para deslocamentos gerais t_0\neq 0 há um fator e^{t_0} a mais, logo o deslocamento da entrada não resulta no mesmo deslocamento simples da saída: o sistema é variante no tempo.
Intuição: o fator multiplicador e^{-t} depende explicitamente de t (não apenas de atrasos), causando variação temporal.
Conclusão: o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Definição e teste para “causalidade”.
Definição: um sistema é causal se, para todo t_0, o valor y(t_0) depende somente de valores x(\tau) para \tau\le t_0 (ou seja, não depende do futuro).
Argumento aplicado ao sistema: a derivada em t,
y(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t)\big],
é definida pelo limite
\frac{d}{dt}\big[e^{-t}x(t)\big] = \lim_{h\to 0}\frac{e^{-(t+h)}x(t+h)-e^{-t}x(t)}{h},
que envolve valores de x para t+h com h>0 arbitrariamente pequenos — isto é, valores de x estritamente maiores que t (futuro). Em geral, para conhecer a derivada em t precisamos conhecer o comportamento de x imediatamente à direita de t (futuro arbitrariamente próximo). Portanto o cálculo de y(t) requer conhecimento de x(\tau) com \tau>t em geral.
Exemplo intuitivo: se o sinal no futuro próximo mudar, a derivada em t muda; assim não é possível determinar y(t) apenas com os valores x(\tau) para \tau\le t. Logo o sistema não é causal.
Observação técnica: existe definição unilatera (derivada direcionada para trás) que tornaria causal um operador que use apenas diferenças passadas, mas o operador dado é a derivada comum (dois-lados), portanto não causal.
Conclusão: o sistema não é causal.

Passo 6

Definição e teste para “estabilidade BIBO” (Bounded-Input, Bounded-Output).
Definição: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera saída limitada: se existe M>0 tal que |x(t)|\le M para todo t, então existe K<\infty tal que |y(t)|\le K para todo t.
Expressão útil já obtida:
y(t)=e^{-t}\big(x'(t)-x(t)\big).
Se somente sabemos que |x(t)|\le M, nada garante que x'(t) seja limitado (o fato de x ser limitado não implica que sua derivada seja limitada). Para mostrar que o sistema não é BIBO estável basta fornecer um exemplo de entrada limitada cujo output é não limitado.
Exemplo concreto (contraexemplo): escolha
x(t)=\sin(t^2).
Esse x(t) é limitado: |x(t)|\le 1 para todo t. A derivada é
x'(t)=2t\cos(t^2),
que cresce em magnitude como 2|t| quando |t|\to\infty (ou seja, é não limitada). Então
y(t)=e^{-t}\big(2t\cos(t^2)-\sin(t^2)\big).
Para t\to -\infty temos e^{-t}=e^{|t|} crescendo exponencialmente e 2t\cos(t^2) cresce aproximadamente como 2|t|, logo o produto e^{-t}\,2t\cos(t^2) tende a infinito em magnitude para t\to -\infty. Portanto y(t) não é limitado, apesar de x(t) ser limitado. Assim existe entrada limitada que produz saída não limitada: o sistema não é BIBO estável.
Observação: se impusermos hipóteses extras (por exemplo, que a entrada é também diferenciável com derivada limitada, ou que o suporte temporal é apenas t\ge 0 e considerarmos apenas t\ge 0 etc.), poderíamos ter estabilidade sob essas hipóteses; mas a propriedade BIBO exige que a saída seja limitada para toda entrada limitada, e isso falha aqui.
Conclusão: o sistema não é estável (não é BIBO estável).

Resposta

Sem memória: não
Estável (BIBO): não
Causal: não
Linear: sim
Invariante no tempo: não

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