Use a lei de Biot-Savart para demonstrar as equações do campo magnético produzido por uma espira circular de raio R a uma distância z ao longo do seu eixo

Passo 1

Beleza, o enunciado manda usar a Lei de Biot–Savart pra achar o campo magnético de uma espira circular de raio , num ponto que fica a uma distância ao longo do eixo perpendicular ao plano da espira. Isso é Eletromagnetismo (mais especificamente magnetostática) e vamos precisar saber:
  1. A forma vetorial da Lei de Biot–Savart.
  2. Como parametrizar uma espira circular no plano .
  3. Como fazer produto vetorial e usar simetria pra cancelar componentes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a Lei de Biot–Savart em sua forma diferencial:
d B( r) ;=;mu04pi;I;dboldsymbolelltimes RR^2,
onde
  • é a corrente,
  • é um pedacinho de fio com direção do sentido da corrente,
  • é o vetor do elemento de corrente até o ponto onde calculamos o campo,
  • e .

Passo 3

Escolhemos a espira no plano r'(phi) = (Rcosphi), x + (Rsinphi), y, dboldsymbolell = d r'dphi,dphi = (-Rsinphi, x + Rcosphi, y),dphi , centrada na origem, de raio . Usamos o parâmetro para descrever cada ponto da espira:

Passo 4

O ponto onde queremos R = r - r' = -Rcosphi, x ;-;Rsinphi, y ;+;z, z, está no eixo R = raizR^2 + z^2 , ou seja . Então
e

Passo 5

Calculamos o produto vetorial dboldsymbolelltimes R = l((-Rsinphi)hat x + (Rcosphi)hat yr)times l(-Rcosphi,hat x - Rsinphi,hat y + z,hat zr) . Só o componente em delltimes R|z = R,dphi;l[Rcos^2phi + Rsin^2phir], z = R^2,dphi; z sobrevive após integrar de a , pois os componentes em se cancelam por simetria.
Fazendo o produto:
O único termo não nulo ao integrar é

Passo 6

Agora colocamos tudo em Biot–Savart e integramos B = mu0 I4pi integral0^2pi R^2, z(R^2+z^2)^3/2,dphi = mu0 I R^24pi (R^2+z^2)^3/2;2pi; z de 0 a :

Passo 7

Simplificando os boxed B(z) = mu0 I R^22,l(R^2+z^2r)^3/2; z com , a gente chega em:

Resposta

B(z) = mu0,I,R^22,(R^2+z^2)^3/2; z

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