Use a lei de Biot-Savart para demonstrar as equações do campo magnético produzido por uma espira circular de raio R a uma distância z ao longo do seu eixo
Passo 1
Beleza, o enunciado manda usar a Lei de Biot–Savart pra achar o campo magnético de uma espira circular de raio , num ponto que fica a uma distância ao longo do eixo perpendicular ao plano da espira. Isso é Eletromagnetismo (mais especificamente magnetostática) e vamos precisar saber:
A forma vetorial da Lei de Biot–Savart.
Como parametrizar uma espira circular no plano .
Como fazer produto vetorial e usar simetria pra cancelar componentes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a Lei de Biot–Savart em sua forma diferencial:
onde
é a corrente,
é um pedacinho de fio com direção do sentido da corrente,
é o vetor do elemento de corrente até o ponto onde calculamos o campo,
e .
Passo 3
Escolhemos a espira no plano , centrada na origem, de raio . Usamos o parâmetro para descrever cada ponto da espira:
Passo 4
O ponto onde queremos está no eixo , ou seja . Então
e
Passo 5
Calculamos o produto vetorial . Só o componente em sobrevive após integrar de a , pois os componentes em se cancelam por simetria.
Fazendo o produto:
O único termo não nulo ao integrar é
Passo 6
Agora colocamos tudo em Biot–Savart e integramos B = mu0 I4pi integral0^2pi R^2, z(R^2+z^2)^3/2,dphi = mu0 I R^24pi (R^2+z^2)^3/2;2pi; z de 0 a :
Passo 7
Simplificando os boxed B(z) = mu0 I R^22,l(R^2+z^2r)^3/2; z com , a gente chega em: