Determinar as acelerações dos pesos com massas m_{1}=3 k g, m_{2}=2 k g e m_{3}=1 k g, e a tensão das cordas no sistema desenhado. As massas das cordas e roldanas são muito menores que as massas dos pesos e adotando-se g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que se determinem as acelerações dos três pesos e a tensão das cordas neste sistema. As informações fornecidas são:
  • Massas: \,m_1=3\\ \text{kg}, \,m_2=2\\ \text{kg} e \,m_3=1\\ \text{kg}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \text{m}/\text{s}^2.
  • As cordas e roldanas são ideais (massa desprezível e sem atrito), logo a tensão na corda é a mesma em toda a extensão da mesma corda.
O que se pede:
  • As acelerações de \,m_1,\\ m_2,\\ m_3 (direção e módulo).
  • A tensão \,T na corda.

Passo 2

Escolha de variáveis e convenções (muito importante para não se perder):
  • Adote o sentido para as coordenadas/atrações: tomarei o sentido para baixo como positivo para todas as massas. Isso facilita a escrita das equações porque podemos usar uma única convenção de sinal.
  • Denotar as acelerações para baixo por \,a_1 (para \,m_1), \,a_2 (para \,m_2) e \,a_3 (para \,m_3).
  • Denotar a tensão na corda por \,T. Como as roldanas são ideais e a corda é contínua, \,T é a mesma em toda a corda.
Lembrete de física que vamos usar (Newton):
  • Segunda lei de Newton na forma escalar: \,m a = \sum F_{\text{resultante}}, com sinais de acordo com a convenção (aqui, para baixo positivo).
  • Força peso de uma massa m é \,m g para baixo.

Passo 3

Equações de movimento (forças e sinais) — escrevendo as equações para cada massa:
  1. Para \,m_1 (lado esquerdo): as forças na massa são peso para baixo \,m_1 g e tensão \,T para cima. Com o sentido para baixo positivo:
m_1 a_1 = m_1 g - T.
Substituindo \,m_1=3:
3 a_1 = 3\cdot10 - T \quad\Rightarrow\quad 3 a_1 = 30 - T.
  1. Para \,m_3 (lado direito): análogo a \,m_1,
m_3 a_3 = m_3 g - T.
Com \,m_3=1:
1 a_3 = 1\cdot10 - T \quad\Rightarrow\quad a_3 = 10 - T.
  1. Para \,m_2 (pendurado abaixo da polia móvel): atenção especial — o bloco/polía móvel é sustentado por duas porções da mesma corda, logo a força de sustentação para cima sobre a polia é 2T (duas tensões atuando para cima). O peso de \,m_2 puxa para baixo \,m_2 g. Como \,m_2 está preso à polia móvel, sua aceleração vertical é \,a_2 (para baixo positiva). A equação fica:
m_2 a_2 = m_2 g - 2T.
Com \,m_2=2:
2 a_2 = 2\cdot10 - 2T \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 = 20 - 2T.
Podemos simplificar:
a_2 = 10 - T.
Observação rápida: nas equações acima escrevemos as forças e aplicamos \,m a = \sum F com o mesmo sinal (para baixo positivo). Note que tanto a equação de \,m_3 quanto a de \,m_2 deram expressões onde \,T aparece na forma \,T = 10 - a_3 e \,T = 10 - a_2 (segundo substituições que faremos em seguida).

Passo 4

Restrição geométrica (constrainte cinemático) entre as acelerações — por que existe e como obtê-la:
  • A corda tem comprimento fixo. Quando a polia móvel (com \,m_2) desce uma certa distância \,\Delta x, as duas partes da corda que vão da polia móvel às roldanas fixas alongam-se juntas: cada uma aumenta \,\Delta x. Assim a corda “gasta” 2\Delta x nessa parte.
  • Ao mesmo tempo, se as massas livres \,m_1 e \,m_3 moverem-se, suas porções de corda livres mudam de comprimento em \,\Delta s_1 e \,\Delta s_3.
  • O comprimento total constante implica:
\Delta s_1 + \Delta s_3 + 2\Delta x = 0.
Derivando duas vezes no tempo (passando para acelerações), obtemos a relação entre acelerações (todas medidas para baixo positivas):
a_1 + a_3 + 2 a_2 = 0.
Essa é a restrição cinemática que liga \,a_1,\\ a_2,\\ a_3.

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações (álgebra passo a passo):
Das equações das forças obtivemos:
3 a_1 = 30 - T \quad(1)
a_3 = 10 - T \quad(2)
a_2 = 10 - T \quad(3)
Da (2) e (3) segue imediatamente que
a_3 = a_2.
Use agora a restrição cinemática \,a_1 + a_3 + 2 a_2 = 0. Substituindo \,a_3=a_2 dá:
a_1 + a_2 + 2 a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 3 a_2 = 0.
Logo
a_1 = -3 a_2. \tag{4}
Substitua (4) em (1). Da (1) isolamos T = 30 - 3 a_1. Mas também pela (3) temos T = 10 - a_2. Igualando:
30 - 3 a_1 = 10 - a_2.
Substituindo a_1=-3 a_2 nessa igualdade:
30 - 3(-3 a_2) = 10 - a_2.
Compute:
30 + 9 a_2 = 10 - a_2 \quad\Rightarrow\quad 9 a_2 + a_2 = 10 - 30 = -20.
10 a_2 = -20 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -2\\ \text{m/s}^2.
Lembre-se: usamos o sinal positivo para baixo. Então \,a_2=-2\\ \text{m/s}^2 significa que \,m_2 acelera para cima com módulo 2\\ \text{m/s}^2.
Agora obtenha as outras acelerações:
  • Pela (4): \,a_1 = -3 a_2 = -3(-2) = 6\\ \text{m/s}^2. Como usamos para baixo positivo, \,a_1=6\\ \text{m/s}^2 significa que \,m_1 acelera para baixo com 6\\ \text{m/s}^2.
  • Pela igualdade a_3=a_2: \,a_3 = -2\\ \text{m/s}^2, ou seja, \,m_3 acelera para cima com 2\\ \text{m/s}^2.
Finalmente a tensão \,T: use \,T = 10 - a_2 (fácil e direta):
T = 10 - a_2 = 10 - (-2) = 12\\ \text{N}.
Verificação rápida com outra equação: \,T = 30 - 3 a_1 = 30 - 18 = 12\\ \text{N} (coincide).

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida:
  • A massa maior \,m_1=3\\ \text{kg} cai com grande aceleração ( 6\\ \text{m/s}^2), puxando a polia móvel para que \,m_2 suba; \,m_3 também sobe, ambos com aceleração 2\\ \text{m/s}^2. A tensão relativamente baixa ( 12\\ \text{N}) é consistente com estas acelerações e com as massas dadas.
  • Sinais negativos que apareceram significam simplesmente movimentos para cima (já que tomamos o sentido para baixo como positivo).

Resposta

\,a_1 = 6\\ \text{m/s}^2 (para baixo)\n
\,a_2 = 2\\ \text{m/s}^2 (para cima)\n
\,a_3 = 2\\ \text{m/s}^2 (para cima)\n
\,T = 12\\ \text{N}

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