Um sistema consiste em duas roldanas com eixos fixos e uma roldana móvel. Através das roldanas colocou-se uma corda nos extremos da qual foram pendurados os pesos com massas m_{1}=1 k g, m_{3}=3 k g e no eixo da roldana móvel pendurou-se um peso de massa m_{2}=2 k g. As partes da corda, que não se encontram na roldana, estão situadas na posição vertical. Determinar as acelerações de cada um dos pesos e as massas das roldanas são desprezíveis, adotando-se g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as acelerações de cada um dos três pesos (as magnitudes e direções).
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da imagem):
  • As massas são \,m_1=1\\ \mathrm{kg}, \,m_2=2\\ \mathrm{kg}, \,m_3=3\\ \mathrm{kg}.
  • A roldana central é móvel e as duas roldanas superiores têm eixos fixos.
  • A corda passa por cima das roldanas superiores, desce até a roldana móvel, sobe até a outra roldana fixa e desce até o outro peso; as partes da corda que não tocam roldanas são verticais.
  • As massas das roldanas são desprezíveis e as polias são sem atrito.
  • g=10\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Escolha de convenção e variáveis (muito importante para não se perder):
  • Vou tomar para todas as massas a direção para baixo como positiva. Assim um sinal negativo na aceleração significa movimento para cima.
  • Defino as coordenadas (deslocamentos para baixo) e acelerações:
    • \,x_1,\;a_1 para a massa \,m_1.
    • \,x_2,\;a_2 para o eixo (e massa) da roldana móvel \,m_2.
    • \,x_3,\;a_3 para a massa \,m_3.
  • Como as partes da corda são verticais e a corda é inextensível, existe uma relação entre os deslocamentos que vamos derivar.

Passo 3

Derivação da restrição geométrica (lei de conservação do comprimento da corda):
  • A corda tem três partes verticais que mudam de comprimento: a que prende \,m_1 (comprimento \,x_1), a que vai do ponto fixo até a roldana móvel do lado esquerdo (comprimento \,x_2) e a que vai do ponto fixo até a roldana móvel do lado direito (também \,x_2 se as roldanas fixas estão na mesma altura), mais a que prende \,m_3 (comprimento \,x_3).
  • Logo o comprimento total é proporcional a \,x_1 + x_2 + x_2 + x_3 = x_1 + x_3 + 2x_2, que é constante.
  • Diferenciando duas vezes no tempo obtemos a relação entre as acelerações: a_1 + a_3 + 2a_2 = 0.

Passo 4

Equações de Newton para cada massa (segundo a 2ª Lei): explicando o que cada termo significa
  • Para \,m_1: forças na vertical são o peso \,m_1 g para baixo e a tensão \,T para cima. Pela 2ª Lei, força resultante = massa × aceleração (lembrando que verso para baixo é positivo), então
    m_1 g - T = m_1 a_1.
    Aqui \,T é a mesma tensão em toda a corda (polias sem massa e sem atrito).
  • Para \,m_3: análogo,
    m_3 g - T = m_3 a_3.
  • Para a roldana móvel e o peso \,m_2 (tratar como um corpo de massa \,m_2 submetido a duas tensões para cima): a roldana móvel é puxada para cima por duas tensões T (duas ramificações da corda) e para baixo pelo seu peso m_2 g. Tomando para baixo positivo,
    m_2 g - 2T = m_2 a_2.
    (Se você preferir em palavras: o peso tenta puxar para baixo, as duas tensões juntas puxam para cima com força 2T).

Passo 5

Organizar o sistema de equações a resolver
  • Temos quatro equações desconhecendo a_1,a_2,a_3,T\): \[\begin{cases} m_1 g - T = m_1 a_1,\\[4pt] m_3 g - T = m_3 a_3,\\[4pt] m_2 g - 2T = m_2 a_2,\\[4pt] a_1 + a_3 + 2a_2 = 0. \end{cases}
  • Agora substituímos os valores numéricos (,m_1=1,\ m_2=2,\ m_3=3,\ g=10] quando for conveniente, mas primeiro simplifico simbolicamente para entender a dependência.]

Passo 6

Eliminação algébrica (passo a passo, sem pular contas)
  • Da primeira equação: T = m_1 g - m_1 a_1.
  • Substituo esse T na terceira equação:
    m_2 g - 2(m_1 g - m_1 a_1) = m_2 a_2.
    Expando:
    m_2 g - 2 m_1 g + 2 m_1 a_1 = m_2 a_2.
    Isolando a_2:
    a_2 = \frac{(m_2 - 2m_1)g + 2 m_1 a_1}{m_2}.
  • Agora substituo os valores numéricos para simplificar aqui (fica mais claro): com \,m_1=1,\\ m_2=2,
    a_2 = \frac{(2 - 2\cdot1)g + 2\cdot1\cdot a_1}{2} = \frac{0\cdot g + 2 a_1}{2} = a_1.
    Conclusão importante: com essas massas, \,a_2 = a_1.

Passo 7

Usar a restrição para relacionar a_3 e a_1, e fechar o sistema
  • Da restrição \,a_1 + a_3 + 2 a_2 = 0, substituindo a_2 = a_1 dá:
    a_1 + a_3 + 2 a_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_3 + 3 a_1 = 0.
    Assim
    a_3 = -3 a_1.
  • Volto à segunda equação de Newton com T expresso pela primeira equação:
    m_3 g - T = m_3 a_3,\quad\text{com }T = m_1 g - m_1 a_1.
    Substituo:
    m_3 g - (m_1 g - m_1 a_1) = m_3 a_3.
    Simplificando:
    (m_3 - m_1)g + m_1 a_1 = m_3 a_3.
    Substituo a_3 = -3 a_1:
    (m_3 - m_1)g + m_1 a_1 = m_3(-3 a_1) = -3 m_3 a_1.
    Reagrupando os termos em a_1:
    (m_3 - m_1)g = -3 m_3 a_1 - m_1 a_1 = -(3 m_3 + m_1) a_1.
    Portanto
    a_1 = -\frac{(m_3 - m_1)g}{3 m_3 + m_1}.

Passo 8

Substituir os números e concluir (contas finais, passo a passo)
  • Com \,m_1=1,\\ m_3=3,\\ g=10:
    m_3 - m_1 = 3 - 1 = 2,\qquad 3 m_3 + m_1 = 9 + 1 = 10.
    Assim
    a_1 = -\frac{2\cdot 10}{10} = -2\\ \mathrm{m/s^2}.
    Lembra: sinal negativo significa que a aceleração real de \,m_1 é para cima com módulo 2\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Então a_2 = a_1 = -2\\ \mathrm{m/s^2}. Ou seja, a roldana móvel (e o peso \,m_2) também sobem com 2\\ \mathrm{m/s^2}.
  • E a_3 = -3 a_1 = -3(-2) = 6\\ \mathrm{m/s^2}. Como o sinal é positivo (na convenção para baixo), significa que \,m_3 desce com 6\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Verificação rápida das forças e tensões (checagem de consistência):
    • Tensão pelo primeiro: T = m_1(g - a_1) = 1\cdot(10 - (-2)) = 12\\ \mathrm{N}.
    • Conferir \,m_3 g - T = 30 - 12 = 18\\ \mathrm{N} e m_3 a_3 = 3\cdot6 = 18\\ \mathrm{N} OK.
    • Conferir \,m_2 g - 2T = 20 - 24 = -4\\ \mathrm{N} e m_2 a_2 = 2\cdot(-2) = -4\\ \mathrm{N} OK.

Resposta

a_1 = -2\\ \mathrm{m/s^2} (ou seja, m_1 sobe com 2\\ \mathrm{m/s^2}).
a_2 = -2\\ \mathrm{m/s^2} (ou seja, a roldana móvel e m_2 sobem com 2\\ \mathrm{m/s^2}).
a_3 = 6\\ \mathrm{m/s^2} (ou seja, m_3 desce com 6\\ \mathrm{m/s^2}).

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