Um sistema consiste em duas roldanas com eixos fixos e uma roldana móvel. Através das roldanas colocou-se uma corda nos extremos da qual foram pendurados os pesos com massas
e no eixo da roldana móvel pendurou-se um peso de massa
. As partes da corda, que não se encontram na roldana, estão situadas na posição vertical. Determinar as acelerações de cada um dos pesos e as massas das roldanas são desprezíveis, adotando-se
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as acelerações de cada um dos três pesos (as magnitudes e direções).
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da imagem):
- As massas são
, , . - A roldana central é móvel e as duas roldanas superiores têm eixos fixos.
- A corda passa por cima das roldanas superiores, desce até a roldana móvel, sobe até a outra roldana fixa e desce até o outro peso; as partes da corda que não tocam roldanas são verticais.
- As massas das roldanas são desprezíveis e as polias são sem atrito.
-
.
Passo 2
Escolha de convenção e variáveis (muito importante para não se perder):
- Vou tomar para todas as massas a direção para baixo como positiva. Assim um sinal negativo na aceleração significa movimento para cima.
- Defino as coordenadas (deslocamentos para baixo) e acelerações:
-
para a massa . -
para o eixo (e massa) da roldana móvel . -
para a massa .
-
- Como as partes da corda são verticais e a corda é inextensível, existe uma relação entre os deslocamentos que vamos derivar.
Passo 3
Derivação da restrição geométrica (lei de conservação do comprimento da corda):
- A corda tem três partes verticais que mudam de comprimento: a que prende
(comprimento ), a que vai do ponto fixo até a roldana móvel do lado esquerdo (comprimento ) e a que vai do ponto fixo até a roldana móvel do lado direito (também se as roldanas fixas estão na mesma altura), mais a que prende (comprimento ). - Logo o comprimento total é proporcional a
, que é constante. - Diferenciando duas vezes no tempo obtemos a relação entre as acelerações:
Passo 4
Equações de Newton para cada massa (segundo a 2ª Lei): explicando o que cada termo significa
-
Para
: forças na vertical são o peso para baixo e a tensão para cima. Pela 2ª Lei, força resultante = massa × aceleração (lembrando que verso para baixo é positivo), então Aquié a mesma tensão em toda a corda (polias sem massa e sem atrito). -
Para
: análogo, -
Para a roldana móvel e o peso
(tratar como um corpo de massa submetido a duas tensões para cima): a roldana móvel é puxada para cima por duas tensões (duas ramificações da corda) e para baixo pelo seu peso . Tomando para baixo positivo, (Se você preferir em palavras: o peso tenta puxar para baixo, as duas tensões juntas puxam para cima com força).
Passo 5
Organizar o sistema de equações a resolver
- Temos quatro equações desconhecendo
- Agora substituímos os valores numéricos (,m_1=1,\ m_2=2,\ m_3=3,\ g=10] quando for conveniente, mas primeiro simplifico simbolicamente para entender a dependência.]
Passo 6
Eliminação algébrica (passo a passo, sem pular contas)
-
Da primeira equação:
. -
Substituo esse
na terceira equação: Expando:Isolando: -
Agora substituo os valores numéricos para simplificar aqui (fica mais claro): com
, Conclusão importante: com essas massas,.
Passo 7
Usar a restrição para relacionar
e
, e fechar o sistema
-
Da restrição
, substituindo dá: Assim -
Volto à segunda equação de Newton com
expresso pela primeira equação: Substituo:Simplificando:Substituo: Reagrupando os termos em: Portanto
Passo 8
Substituir os números e concluir (contas finais, passo a passo)
-
Com
: AssimLembra: sinal negativo significa que a aceleração real deé para cima com módulo . -
Então
. Ou seja, a roldana móvel (e o peso ) também sobem com . -
E
. Como o sinal é positivo (na convenção para baixo), significa que desce com . -
Verificação rápida das forças e tensões (checagem de consistência):
- Tensão pelo primeiro:
- Conferir
e OK. - Conferir
e OK.
- Tensão pelo primeiro: