Obtenha a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a Transformada de Laplace da função por partes
Informações relevantes dadas:
-
para . -
para . -
para e para . - A definição da Transformada de Laplace que vamos usar é a integral de
a de .
A resolução começa agora.
Passo 2
Escrevemos a Transformada de Laplace usando a definição:
Como
é zero fora de
, a integral se reduz a duas integrais em intervalos conhecidos:
Observação rápida: a integral converge para
, então trabalharemos com
.
Passo 3
Para calcular as integrais precisamos de uma antiderivada de
. Vamos obter por integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
Aplicando:
Portanto uma antiderivada é
Passo 4
Calcule a primeira integral
Avaliando nos extremos:
- Em
: . - Em
: .
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
Passo 5
Calcule a segunda integral
Avalie a antiderivada em
e em
:
- Em
: . - Em
: .
A diferença (valor em 2 menos valor em 1) é
Multiplicando por
:
Passo 6
Some
e
:
Substituindo as expressões:
Agrupando termos semelhantes (organizando por
e
):
Passo 7
Apresento a mesma expressão de forma mais compacta, fatorando
:
válida para
. Comentário rápido: dá para obter o mesmo resultado escrevendo
com funções degrau unitário e usando o teorema do deslocamento em tempo, mas a integração direta acima é direta e segura.