Obtenha a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)= \begin{cases}5 t, & 0<t<1 \\\\ -5 t, & 1<t<2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a Transformada de Laplace da função por partes
f(t)= \begin{cases}5 t, & 0<t<1 \\\\ -5 t, & 1<t<2 \\\\ 0, & \text{caso contrário}\end{cases}á
Informações relevantes dadas:
  • f(t)=5t para 0<t<1.
  • f(t)=-5t para 1<t<2.
  • f(t)=0 para t\le0 e para t\ge2.
  • A definição da Transformada de Laplace que vamos usar é a integral de 0 a +\infty de e^{-st}f(t)\,dt.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevemos a Transformada de Laplace usando a definição:
F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Como f(t) é zero fora de (0,2), a integral se reduz a duas integrais em intervalos conhecidos:
F(s)=\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}\,dt+\int_{1}^{2}(-5t)\,e^{-st}\,dt.
Observação rápida: a integral converge para s>0, então trabalharemos com s>0.

Passo 3

Para calcular as integrais precisamos de uma antiderivada de t e^{-st}. Vamos obter por integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=t e dv=e^{-st}\,dt. Então
du=dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt = -\frac{e^{-st}}{s}.
Aplicando:
\int t e^{-st}\,dt = u v - \int v\,du = -\frac{t e^{-st}}{s} - \int\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)dt = -\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{e^{-st}}{s^{2}} + C.
Portanto uma antiderivada é
\int t e^{-st}\,dt = -\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{e^{-st}}{s^{2}} + C.

Passo 4

Calcule a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}\,dt = 5\left[-\frac{t e^{-st}}{s}-\frac{e^{-st}}{s^{2}}\right]_{0}^{1}.
Avaliando nos extremos:
  • Em t=1: -\dfrac{1\cdot e^{-s}}{s}-\dfrac{e^{-s}}{s^{2}} = -\dfrac{e^{-s}}{s}-\dfrac{e^{-s}}{s^{2}}.
  • Em t=0: -\dfrac{0\cdot e^{0}}{s}-\dfrac{e^{0}}{s^{2}} = -\dfrac{1}{s^{2}}.
    Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
I_{1}=5\left(-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}} -\left(-\frac{1}{s^{2}}\right)\right) =5\left(\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\right).

Passo 5

Calcule a segunda integral
I_{2}=\int_{1}^{2}(-5t)\,e^{-st}\,dt = -5\left[-\frac{t e^{-st}}{s}-\frac{e^{-st}}{s^{2}}\right]_{1}^{2}.
Avalie a antiderivada em t=2 e em t=1:
  • Em t=2: -\dfrac{2 e^{-2s}}{s}-\dfrac{e^{-2s}}{s^{2}}.
  • Em t=1: -\dfrac{e^{-s}}{s}-\dfrac{e^{-s}}{s^{2}}.
    A diferença (valor em 2 menos valor em 1) é
-\frac{2 e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s^{2}} -\left(-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\right) = -\frac{2 e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s^{2}}+\frac{e^{-s}}{s}+\frac{e^{-s}}{s^{2}}.
Multiplicando por -5:
I_{2}=5\left(\frac{2 e^{-2s}}{s}+\frac{e^{-2s}}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\right).

Passo 6

Some I_{1} e I_{2}:
F(s)=I_{1}+I_{2}.
Substituindo as expressões:
F(s)=5\left(\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\right) +5\left(\frac{2 e^{-2s}}{s}+\frac{e^{-2s}}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\right).
Agrupando termos semelhantes (organizando por \dfrac{1}{s} e \dfrac{1}{s^{2}}):
F(s)=\frac{5}{s^{2}}- \frac{10 e^{-s}}{s}-\frac{10 e^{-s}}{s^{2}}+\frac{10 e^{-2s}}{s}+\frac{5 e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 7

Apresento a mesma expressão de forma mais compacta, fatorando 5:
F(s)=5\left(\frac{1}{s^{2}}+\frac{2\big(e^{-2s}-e^{-s}\big)}{s}+\frac{e^{-2s}-2e^{-s}}{s^{2}}\right),
válida para s>0. Comentário rápido: dá para obter o mesmo resultado escrevendo f(t) com funções degrau unitário e usando o teorema do deslocamento em tempo, mas a integração direta acima é direta e segura.

Resposta

F(s)=\frac{5}{s^{2}}-\frac{10 e^{-s}}{s}-\frac{10 e^{-s}}{s^{2}}+\frac{10 e^{-2s}}{s}+\frac{5 e^{-2s}}{s^{2}}\qquad (s>0)

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