Use o limite fundamental exponencial e calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2}.
O conteúdo usado será o limite exponencial fundamental, que diz que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Reescrevemos a potência separando o expoente em duas parcelas:
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}\cdot\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Aplicamos o limite na primeira parcela usando o limite fundamental:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x} = e.

Passo 4

Calculamos o limite na segunda parcela. Como \frac1x\to0, temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2} =1^{2} =1.

Passo 5

O produto de limites existe e é o produto dos resultados:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} = e\cdot1 = e.

Resposta

\displaystyle e

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