Use o limite fundamental exponencial e calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1}.
O conteúdo aqui é o limite fundamental exponencial \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)^x=e^a.

Passo 2

Reescrevemos a expressão em dois fatores, separando a potência x:
\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1} = \bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}\;\cdot\;\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr).

Passo 3

Aplicamos o limite em cada fator usando o limite fundamental exponencial e o fato de que \lim_{x\to\infty}(1+\tfrac{2}{x})=1:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x} = e^{2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)=1.
Logo,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1} = e^{2}\cdot1 = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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