Use o limite fundamental exponencial e calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}.
O conteúdo central é reconhecer uma forma do tipo (1+\tfrac1{u})^u que leva ao número e. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar logaritmo e empregar o limite fundamental
\lim_{u\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1{u}\Bigr)^{u}=e.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}.
Para trabalhar com formas exponenciais, é conveniente considerar o logaritmo natural:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x\,\ln\!\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Dentro do logaritmo temos
\ln\!\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr).
Para t=x+1, quando x\to+\infty também t\to+\infty. Então
x\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr) = (t-1)\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{t}\Bigr).
Usamos a expansão \ln(1+u)\sim u para u\to0, ou reconhecemos que
\lim_{t\to\infty}t\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac1{t}\Bigr)=1.
Logo
\lim_{x\to+\infty}x\,\ln\!\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr) =\lim_{t\to\infty}(t-1)\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac1{t}\Bigr) =\lim_{t\to\infty}t\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac1{t}\Bigr) - \lim_{t\to\infty}\ln\!\Bigl(1+\tfrac1{t}\Bigr) =1-0=1.
Portanto \ln L = 1.

Passo 4

Como \ln L=1, temos L=e^{\,1}=e.

Resposta

e

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