Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{-3 x+8 y}{4 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{-3x+8y}{4x+y}.
Este é um caso clássico de limite de função de duas variáveis: se ao aproximar (x,y)\to(0,0) por curvas diferentes o valor do quociente for diferente, o limite não existe.

Passo 2

Vamos aproximar por retas que passam pela origem, ou seja, impor
y = m\,x,
onde m é um parâmetro (a inclinação da reta). Substituindo em
f(x,y)=\frac{-3x+8y}{4x+y}
temos
f(x,mx) =\frac{-3x+8(mx)}{4x+(mx)} =\frac{x(-3+8m)}{x(4+m)} =\frac{-3+8m}{4+m},
válido sempre que 4+m\neq0.

Passo 3

O valor de
\lim_{x\to0}f\bigl(x,mx\bigr)
é simplesmente
\frac{-3+8m}{4+m},
que depende de m. Logo, ao escolhermos retas com inclinações diferentes, obtemos limites distintos.

Passo 4

Por exemplo:
  • Para m=0 (reta y=0)
\lim_{x\to0}\frac{-3x+8\cdot0}{4x+0} = \frac{-3}{4}.
  • Para m=1 (reta y=x)
\lim_{x\to0}\frac{-3x+8x}{4x+x} = \frac{5}{5} = 1.
Como -3/4 \neq 1, o limite varia conforme a reta de aproximação.

Resposta

O limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{-3x+8y}{4x+y}
não existe.

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