Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{2 x+3 y}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{2x+3y}
no sentido de variáveis em \mathbb{R}^2. Vamos usar o fato de que, se esse limite existisse, ao aproximar (x,y) por diferentes curvas o valor teria de ser sempre o mesmo.

Passo 2

Escolhemos as retas que passam pela origem dada por y = m x, onde m é um parâmetro real. Substituindo y=mx na função, obtemos
\frac{x+y}{2x+3y} \;\longrightarrow\; \frac{x + m x}{2x + 3 m x} = \frac{(1+m)\,x}{(2+3m)\,x} = \frac{1+m}{2+3m}.
Portanto, ao longo de y=mx, o valor da função tende a
\lim_{x\to0}\frac{x+y}{2x+3y} = \frac{1+m}{2+3m},
que depende de m.

Passo 3

Para ver que isso varia, tomemos dois valores de m:
Substituindo m=0 (reta y=0, eixo x), obtemos
\frac{1+0}{2+0} = \frac12.
Substituindo m=1 (reta y=x), obtemos
\frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}.

Passo 4

Como \tfrac12 \neq \tfrac25, o valor do limite depende da reta de aproximação. Logo, não há um único valor limite quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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