Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite
no sentido de variáveis em
. Vamos usar o fato de que, se esse limite existisse, ao aproximar
por diferentes curvas o valor teria de ser sempre o mesmo.
Passo 2
Escolhemos as retas que passam pela origem dada por
, onde
é um parâmetro real. Substituindo
na função, obtemos
Portanto, ao longo de
, o valor da função tende a
que depende de
.
Passo 3
Para ver que isso varia, tomemos dois valores de
:
Substituindo (reta
, eixo
), obtemos
Substituindo
Substituindo
(reta
), obtemos
Passo 4
Como
, o valor do limite depende da reta de aproximação. Logo, não há um único valor limite quando
.
Resposta
O limite não existe.