Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-6,2)} \frac{-x-2 y-2}{2 x+5 y+2}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{(x,y)\to(-6,2)}\frac{-x-2y-2}{2x+5y+2}. Note que ao substituir (x,y)=(-6,2) obtemos 0/0, ou seja, forma indeterminada. Para mostrar que esse limite não existe, usaremos o critério de trajetórias diferentes que levam a valores distintos.

Passo 2

Considere a trajetória y=2. Substituindo em
f(x,2)=\frac{-x-2\cdot2-2}{2x+5\cdot2+2} =\frac{-x-4-2}{2x+10+2} =\frac{-(x+6)}{2(x+6)} =-\frac12
para x\neq -6. Portanto
\lim_{x\to -6}f(x,2)=-\tfrac12.

Passo 3

Agora use a trajetória x=-6. Substituindo em
f(-6,y)=\frac{-(-6)-2y-2}{2\cdot(-6)+5y+2} =\frac{6-2y-2}{-12+5y+2} =\frac{4-2y}{5y-10} =\frac{-2(y-2)}{5(y-2)} =-\tfrac{2}{5}
para y\neq 2. Assim
\lim_{y\to 2}f(-6,y)=-\tfrac{2}{5}.

Passo 4

Vimos que ao aproximar por y=2 o limite vale -\tfrac12 e, por x=-6, vale -\tfrac25. Como esses valores são diferentes, o limite duplo não existe.

Resposta

O limite não existe.

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