Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-7)} \frac{-5 x^{2}-2 y+6}{3 x^{2}+3 y+9}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(2,-7)}\frac{-5x^{2}-2y+6}{3x^{2}+3y+9}
não existe. Vamos fazer isso exibindo dois caminhos de aproximação ao ponto (2,-7) que dão resultados diferentes.

Passo 2

Caminho horizontal: y=-7 e x\to2. Substituindo y=-7 na função obtemos
\frac{-5x^{2}-2(-7)+6}{3x^{2}+3(-7)+9} =\frac{-5x^{2}+14+6}{3x^{2}-21+9} =\frac{-5x^{2}+20}{3x^{2}-12}.
Note que x^{2}-4=(x-2)(x+2), logo
-5x^{2}+20=-5(x^{2}-4)=-5(x-2)(x+2), \quad 3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
Para x\neq2,
\frac{-5x^{2}+20}{3x^{2}-12} =\frac{-5(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} =-\frac{5}{3}.
Assim
\lim_{x\to2}\frac{-5x^{2}-2(-7)+6}{3x^{2}+3(-7)+9} =-\frac{5}{3}.

Passo 3

Caminho vertical: x=2 e y\to -7. Substituindo x=2 na função obtemos
\frac{-5\cdot2^{2}-2y+6}{3\cdot2^{2}+3y+9} =\frac{-20-2y+6}{12+3y+9} =\frac{-14-2y}{21+3y}.
Pondo y=-7+t com t\to0, o numerador fica
-14-2(-7+t)=-14+14-2t=-2t
e o denominador
21+3(-7+t)=21-21+3t=3t.
Logo, para t\neq0,
\frac{-14-2y}{21+3y} =\frac{-2t}{3t} =-\frac{2}{3},
e assim
\lim_{y\to-7}\frac{-5\cdot2^{2}-2y+6}{3\cdot2^{2}+3y+9} =-\frac{2}{3}.

Passo 4

Nos dois caminhos, a projeção no ponto (2,-7) dá resultados diferentes:
-\tfrac{5}{3}\neq -\tfrac{2}{3}.
Como o valor da função depende da direção pela qual nos aproximamos, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados