Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[4]{y^{3} x}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt[4]{y^3x}}{x+y}
não existe. Vamos usar o método de limites ao longo de curvas (no caso, retas y = m\,x) e ver que o valor do limite depende de m, o que impede a existência de um único valor.

Passo 2

Escolhendo a reta y = m\,x com m>-1 e x>0, temos
\frac{\sqrt[4]{y^3x}}{x+y} = \frac{\sqrt[4]{(m\,x)^3\,x}}{x + m\,x} = \frac{\sqrt[4]{m^3\,x^4}}{(1+m)\,x} = \frac{m^{3/4}\,\lvert x\rvert}{(1+m)\,x}.
Para x>0 isso vira
\frac{m^{3/4}}{1+m}.

Passo 3

O valor
L(m)=\frac{m^{3/4}}{1+m}
depende de m. Por exemplo, se m=0 (reta y=0) então L(0)=0, mas se m=1 (reta y=x) então
L(1)=\frac{1^{3/4}}{1+1}=\frac12.
Dois valores diferentes mostram que o limite não pode ser único.

Resposta

O limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt[4]{y^3x}}{x+y}
não existe.

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