Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x y}}{x^{3}-4 y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x\,y}}{x^{3}-4y^{3}}
não existe, usando a ideia de limite ao longo de curvas. A teoria é: se ao aproximar (x,y) de (0,0) por duas curvas diferentes obtemos valores diferentes (ou um valor finito e outro infinito), então o limite clássico em \R^2 não existe.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar pelo eixo x, isto é, tomar a curva
y=0.
Nesse caso, para todo x\neq0 temos
\sqrt{x\,y}=\sqrt{x\cdot0}=0 \quad\text{e}\quad x^{3}-4y^{3}=x^{3}-4\cdot0^{3}=x^{3},
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\frac{\sqrt{x\,y}}{x^{3}-4y^{3}} =\frac{0}{x^{3}}=0.
Portanto, ao longo de y=0 o limite é
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x\cdot0}}{x^{3}-4\cdot0^{3}}=0.

Passo 3

Agora aproximamos pela reta
y=x,
com x>0 tendendo a 0. Nesse caso
\sqrt{x\,y}=\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{x^{2}}=x,
e
x^{3}-4y^{3} =x^{3}-4x^{3}=-3x^{3}.
Então, para x>0,
\frac{\sqrt{x\,y}}{x^{3}-4y^{3}} =\frac{x}{-3x^{3}} =-\frac{1}{3x^{2}} \;\xrightarrow[x\to0^+]\;-\infty.
Ou seja, ao longo de y=x o valor da função diverge para -\infty.

Passo 4

Concluímos que pelas duas curvas diferentes obtivemos resultados incompatíveis:
  • pela curva y=0 o limite vale 0;
  • pela curva y=x o valor diverge para -\infty.
Como não há um valor único comum, o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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