Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[4]{x^{2} y^{2}}}{x^{2}+8 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt[4]{x^{2}y^{2}}}{x^{2}+8y^{2}}
não existe, usando limites ao longo de curvas. Vamos testar pelo menos duas curvas diferentes que levem a origens diferentes ou a resultados diferentes; com isso, mostramos que não há um valor único para o limite.

Passo 2

Considere a curva y=0. Então, para x\neq0,
f(x,0) =\frac{\sqrt[4]{x^{2}\cdot0^{2}}}{x^{2}+8\cdot0^{2}} =\frac{0}{x^{2}} =0.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(0,0) pela reta y=0, o limite de f(x,y) é
\lim_{x\to0}f(x,0)=0.

Passo 3

Considere agora a reta y=m\,x com constante m\neq0. Então
f\bigl(x,mx\bigr) =\frac{\sqrt[4]{x^{2}\,(m x)^{2}}}{x^{2}+8\,(m x)^{2}} =\frac{\sqrt[4]{m^{2}x^{4}}}{x^{2}(1+8m^{2})} =\frac{|m|^{1/2}\,|x|}{(1+8m^{2})\,x^{2}} =\frac{|m|^{1/2}}{(1+8m^{2})\,|x|}.
Quando x\to0, o termo \tfrac1{|x|} diverge a +\infty. Assim,
\lim_{x\to0}f(x,mx)=+\infty.

Passo 4

Pela reta y=0 o limite é 0, mas pela reta y=mx (com m\neq0) o limite é +\infty. Como esses dois resultados são diferentes, o limite em (0,0) não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados