Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x y}}{-x^{8}+4 y^{8}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=\frac{\sqrt{x\,y}}{-x^{8}+4\,y^{8}}
não tem limite em (0,0), usando diferentes curvas de aproximação. Vamos calcular o limite de f ao longo de duas curvas e verificar que os resultados são distintos.

Passo 2

Considere a curva y=0. Para (x,0) com x\neq0 temos
f(x,0) =\frac{\sqrt{x\cdot 0}}{-x^{8}+4\cdot 0^{8}} =\frac{0}{-x^{8}} =0.
Logo,
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=0.

Passo 3

Agora aproxime-se por y=x, tomando x>0 para garantir \sqrt{x^2}=x. Então
f(x,x) =\frac{\sqrt{x\cdot x}}{-x^{8}+4x^{8}} =\frac{x}{3x^{8}} =\frac{1}{3}\,x^{-7}.
Como x\to0^+, x^{-7}\to+\infty, logo
\lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,x)=+\infty.

Passo 4

Vimos que ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=x o limite é +\infty. Como esses valores são diferentes, concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x\,y}}{-x^{8}+4\,y^{8}} não existe.

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