Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
d) J(s)=2(s+1)(s+2)^2(s+1), s=j omega

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar o diagrama de Bode da função de transferência:
J(s) = 2(s + 1)(s + 2)^2(s + 1)
Aqui, estamos trabalhando com Funções de Transferência e Diagramas de Bode, que nos ajudam a entender como um sistema reage a diferentes frequências. Para resolver isso, vamos precisar identificar os zeros e pólos da função, já que eles influenciam diretamente o formato do diagrama.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Observe que temos (s + 1) no numerador e no denominador:
J(s) = 2(s + 1)(s + 2)^2(s + 1)
Podemos cancelar o (s + 1):
J(s) = 2(s + 2)^2
Isso simplifica nosso trabalho, já que agora temos apenas um pólo de segunda ordem em s = -2.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pólos e zeros da função simplificada:
  • Zeros: São os valores de s que anulam o numerador. No caso, após simplificar, não temos zeros (pois (s + 1) foi cancelado).
  • Pólos: São os valores de s que anulam o denominador. Aqui, temos um pólo de segunda ordem em s = -2.

Passo 4

Com isso, sabemos que nosso diagrama de Bode será influenciado por um pólo de segunda ordem em omega = 2 (já que s = jomega). Vamos agora construir os diagramas de magnitude e fase passo a passo considerando esse pólo.

Passo 5

Magnitude:
Para um pólo de segunda ordem em omega = omegap, a inclinação da magnitude muda em omegap com uma taxa de -40,dB/dec.
  • Antes de omegap = 2: A magnitude é constante.
  • Após omegap = 2: A inclinação começa a decair a uma taxa de -40,dB/dec.
Fase:
Cada pólo contribui com uma mudança na fase de -90°, então um pólo de segunda ordem contribui com -180° no total, distribuído ao redor de omegap.
  • Antes de omegap = 2: Fase começa a cair.
  • Ao redor de omegap = 2: Fase atinge -180°.
  • Após omegap = 2: Fase se estabiliza em -180°.

Passo 6

Vamos agora desenhar cada parte:
  1. Diagrama de Magnitude:
    • Comece com uma linha horizontal representando a magnitude constante até omega = 2.
    • A partir de omega = 2, desenhe uma linha com inclinação de -40,dB/dec.
  2. Diagrama de Fase:
    • Inicie com a fase em antes de omega = 2.
    • Gradualmente, a fase desce até -180° ao redor de omega = 2.
    • Após omega = 2, a fase se mantém em -180°.

Passo 7

Finalmente, junte os dois diagramas:
  • No Diagrama de Magnitude, você terá uma reta horizontal até omega = 2 e depois uma reta decrescente.
  • No Diagrama de Fase, a transição suave de para -180° ocorre ao redor de omega = 2.

Resposta

O diagrama de Bode para a função de transferência $ J(s) = \frac{2(s + 1)}{(s + 2)^{2}(s + 1)} $ apresenta:
  • Magnitude: Uma reta horizontal até J(s) = 2(s + 1)(s + 2)^2(s + 1) e, a partir daí, uma inclinação de omega = 2.
  • Fase: Uma transição suave de -40,dB/dec para ao redor de -180°, mantendo-se em omega = 2 após esse ponto.

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