Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar o diagrama de Bode da função de transferência:
Aqui, estamos trabalhando com Funções de Transferência e Diagramas de Bode, que nos ajudam a entender como um sistema reage a diferentes frequências. Para resolver isso, vamos precisar identificar os zeros e pólos da função, já que eles influenciam diretamente o formato do diagrama.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Observe que temos
no numerador e no denominador:
Podemos cancelar o
:
Isso simplifica nosso trabalho, já que agora temos apenas um pólo de segunda ordem em
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pólos e zeros da função simplificada:
-
Zeros: São os valores de
que anulam o numerador. No caso, após simplificar, não temos zeros (pois foi cancelado). -
Pólos: São os valores de
que anulam o denominador. Aqui, temos um pólo de segunda ordem em .
Passo 4
Com isso, sabemos que nosso diagrama de Bode será influenciado por um pólo de segunda ordem em
(já que
). Vamos agora construir os diagramas de magnitude e fase passo a passo considerando esse pólo.
Passo 5
Magnitude:
Para um pólo de segunda ordem em
, a inclinação da magnitude muda em
com uma taxa de
.
- Antes de
: A magnitude é constante. - Após
: A inclinação começa a decair a uma taxa de .
Fase:
Cada pólo contribui com uma mudança na fase de
, então um pólo de segunda ordem contribui com
no total, distribuído ao redor de
.
- Antes de
: Fase começa a cair. - Ao redor de
: Fase atinge . - Após
: Fase se estabiliza em .
Passo 6
Vamos agora desenhar cada parte:
-
Diagrama de Magnitude:
- Comece com uma linha horizontal representando a magnitude constante até
. - A partir de
, desenhe uma linha com inclinação de .
- Comece com uma linha horizontal representando a magnitude constante até
-
Diagrama de Fase:
- Inicie com a fase em
antes de . - Gradualmente, a fase desce até
ao redor de . - Após
, a fase se mantém em .
- Inicie com a fase em
Passo 7
Finalmente, junte os dois diagramas:
- No Diagrama de Magnitude, você terá uma reta horizontal até
e depois uma reta decrescente. - No Diagrama de Fase, a transição suave de
para ocorre ao redor de .
Resposta
O diagrama de Bode para a função de transferência $ J(s) = \frac{2(s + 1)}{(s + 2)^{2}(s + 1)} $ apresenta:
- Magnitude: Uma reta horizontal até
e, a partir daí, uma inclinação de . - Fase: Uma transição suave de
para ao redor de , mantendo-se em após esse ponto.