Use o mélodo de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}-t(t+2) y^{\prime}+(t+2) y=0 . \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=t

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução da equação
t^{2}y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0,\quad t>0,
sabendo que uma solução é y_{1}(t)=t. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis e usaremos o método de redução de ordem, que consiste em buscar
y_{2}(t)=v(t)\,y_{1}(t).

Passo 2

Suponha
y_{2}(t)=v(t)\,t.
Então
y_{2}'=v'\,t+v, \qquad y_{2}''=v''\,t+2v'.

Passo 3

Substituindo em \;t^{2}y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0:
t^{2}(v''t+2v')-t(t+2)(v't+v)+(t+2)(v\,t)=0.
Expandindo e cancelando os termos em v obtém-se
t^{3}v''+2t^{2}v'-t^{2}(t+2)v'=0 \;\Longrightarrow\; t^{3}(v''-v')=0 \;\Longrightarrow\; v''-v'=0.

Passo 4

Resolva a EDO reduzida
v''-v'=0.
Defina w=v'. Então
w'-w=0 \;\Longrightarrow\; w(t)=C\,e^{t},
logo
v(t)=\int w(t)\,dt=C\,e^{t}.
Para obter solução independente, escolha v(t)=e^{t}.

Passo 5

Finalmente
y_{2}(t)=v(t)\,y_{1}(t)=t\,e^{t}.

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(t)=t\,e^{t}.

Exercícios relacionados