60 Um corpo cuja aceleração é dada por \overrightarrow{\mathrm{a}}(\mathrm{t})=6 \mathrm{tk} (no SI) encontrava-se, no instante t=0, no ponto de coordenadas (x, y, z)=(0,5,0), com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção crescente de x. Pode-se afirmar corretamente que o corpo
a) tem velocidade, no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}, de 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) tem sua posição, no instante t=2 \mathrm{~s}, dada por
\overrightarrow{\mathrm{r}}(\mathrm{t})=8 \overrightarrow{\mathrm{i}}+8 \overrightarrow{\mathrm{k}}(\mathrm{no} \mathrm{SI}) .
c) tem velocidade com direção constante.
d) executa um movimento parabólico.
e) descreve uma trajetória dada por \mathrm{z}=(\mathrm{x} / 4)^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração
\overrightarrow{a}(t) = 6\,t\,\mathbf{k}
com as condições iniciais em t=0:
\overrightarrow{r}(0) = 0\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k},\qquad \overrightarrow{v}(0) = 4\,\mathbf{i}.
O conteúdo é cinemática vetorial com aceleração variável; vamos integrar para achar \overrightarrow{v}(t) e \overrightarrow{r}(t) e depois verificar cada afirmação.

Passo 2

Integrando a aceleração para obter a velocidade:
\overrightarrow{v}(t) = \int \overrightarrow{a}(t)\,dt = \int 6\,t\,\mathbf{k}\,dt = 3\,t^2\,\mathbf{k} + \overrightarrow{C}.
Como \overrightarrow{v}(0)=4\,\mathbf{i}, temos \overrightarrow{C}=4\,\mathbf{i}. Logo
\overrightarrow{v}(t) = 4\,\mathbf{i} + 3\,t^2\,\mathbf{k}.

Passo 3

Integrando \overrightarrow{v}(t) para obter a posição:
\overrightarrow{r}(t) = \int \bigl(4\,\mathbf{i} + 3\,t^2\,\mathbf{k}\bigr)\,dt = 4t\,\mathbf{i} + t^3\,\mathbf{k} + \overrightarrow{D}.
Como \overrightarrow{r}(0)=0\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}, temos \overrightarrow{D}=5\,\mathbf{j}. Logo
\overrightarrow{r}(t) = 4t\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + t^3\,\mathbf{k}.

Passo 4

Verificando a) “velocidade em t=1 é 7 m/s”. Temos
\overrightarrow{v}(1) = 4\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{k},
cuja magnitude é
\|\overrightarrow{v}(1)\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\\ \text{m/s},
não 7. A afirmação é falsa.

Passo 5

Verificando b) “posição em t=2 é 8\,\mathbf{i} + 8\,\mathbf{k}”. Do vetor
\overrightarrow{r}(2) = 4\cdot2\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + 2^3\,\mathbf{k} = 8\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + 8\,\mathbf{k},
falta o termo 5\,\mathbf{j}. A afirmação é falsa.

Passo 6

Verificando c) “velocidade com direção constante”. Como \overrightarrow{v}(t)=4\,\mathbf{i}+3t^2\,\mathbf{k}, a componente em \mathbf{k} varia com t, logo a direção de \overrightarrow{v}(t) muda. A afirmação é falsa.

Passo 7

Verificando d) “movimento parabólico”. A relação entre x e z é
x=4t,\quad z=t^3 \quad\Longrightarrow\quad z = \Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^3,
o que é cúbico, não parabólico. A afirmação é falsa.

Passo 8

Verificando e) “trajetória dada por z=(x/4)^3”. Exatamente
z = t^3,\;x=4t \;\Longrightarrow\; z = \Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^3.
A afirmação é verdadeira.

Resposta

e) descreve uma trajetória dada por z=(x/4)^{3}.

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