Use o mélodo de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}-2 y=0, \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=I

Passo 1

O enunciado dá a equação
t^{2}y''+2t\,y'-2y=0,\quad t>0
e informa uma solução conhecida y_{1}(t)=t. Vamos usar o método de redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+P(t)\,y'+Q(t)\,y=0.
Dividindo por t^{2} obtemos
y''+\frac{2}{t}y'-\frac{2}{t^{2}}y=0,
logo
P(t)=\frac{2}{t}.

Passo 3

No método de redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,\int \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.
Como y_{1}(t)=t e \displaystyle e^{-\int P(t)\,dt}=e^{-\int \frac{2}{t}dt}=e^{-2\ln t}=t^{-2}, temos
y_{2}(t)=t\;\int \frac{t^{-2}}{t^{2}}\,dt =t\;\int t^{-4}\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral
\int t^{-4}\,dt =\frac{t^{-3}}{-3} =-\frac{1}{3}\,t^{-3}.
Substituindo em y_{2} fica
y_{2}(t) =t\;\Bigl(-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr) =-\tfrac{1}{3}\,t^{-2}.

Passo 5

Como qualquer múltiplo escalar dá a mesma direção no espaço de soluções, podemos desprezar o fator -\tfrac{1}{3} e escolher
y_{2}(t)=t^{-2}.

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2}(t)=t^{-2}.

Exercícios relacionados