Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral raizx^2-16x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raizx^2-16x^2,dx
Como há raizx^2-a^2, é clássico usar substituição trigonométrica com
x = 4sectheta,
que simplifica raizx^2-16.

Passo 2

Fazendo
,x=4sectheta, temos
raizx^2-16=4tantheta,
,dx=4secthetatantheta,dtheta e
,x^2=16sec^2theta. Substituindo na integral:
integral raizx^2-16x^2,dx = integral 4tantheta16sec^2thetacdot4secthetatantheta,dtheta = integral 16sectheta,tan^2theta16sec^2theta,dtheta = integral tan^2thetasectheta,dtheta = integrall(sectheta-costhetar),dtheta

Passo 3

Integramos em theta, usando integralsectheta,dtheta=lnl|sectheta+tanthetar| e integralcostheta,dtheta=sintheta:
integrall(sectheta-costhetar),dtheta = lnl|sectheta+tanthetar| - sintheta + C

Passo 4

Voltemos a x:
sectheta=dfracx4, tantheta=dfracraizx^2-164 e
sintheta=dfractanthetasectheta=dfracraizx^2-16x.
Substituindo:
ln!l|x4+raizx^2-164r| - raizx^2-16x + C = lnl|x+raizx^2-16r| - raizx^2-16x + C'

Resposta

integral raizx^2-16x^2,dx = lnl|x+raizx^2-16r| ;-;raizx^2-16x ;+; C

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