Use o método da adjunta (Teorema 2.3.6) para encontrar a inversa da matriz dada, se existir.
A matriz do Exercício 8:
\left[\begin{array}{rrrr}-1 & -2 & -3 & -4 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ -4 & -3 & -2 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da adjunta (Teorema 2.3.6) para encontrar a inversa da matriz, se ela existir. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 & -4\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] -4 & -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Pergunta explícita: existe A^{-1}? Se existir, encontrar A^{-1} pelo método da adjunta.]

Passo 2

O que é o “método da adjunta” (lembrando passo a passo, como numa aulinha rápida)?
  • Para uma matriz quadrada A de ordem n, define-se o menor de ordem n-1 associado à posição (i,j) como a matriz que sobra quando se elimina a linha i e a coluna j; seu determinante chama-se menor M_{ij}.
  • O cofator correspondente é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A matriz dos cofatores é a matriz cujas entradas são C_{ij}. A adjunta (ou adjugate) de A é a transposta dessa matriz de cofatores: \operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{\!T}.
  • O Teorema (adjunta) diz: se \det(A)\neq0 então A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).Se \det(A)=0, a inversa não existe.
  • Portanto, antes de tentar calcular todos os cofatores (que é trabalhoso para 4\times4), a primeira e mais prática verificação é determinar se \det(A) é zero ou não. Se for zero, paramos: não há inversa. Se for não zero, aí sim calculamos cofatores, montamos \operatorname{adj}(A) e dividimos por \det(A).

Passo 3

Vamos analisar a matriz A procurando dependências lineares entre linhas (isso costuma ser a maneira mais rápida de decidir se \det(A)=0).
Escrevendo as linhas:
\begin{aligned} \text{linha }1 &= (-1,\,-2,\,-3,\,-4),\\\ \text{linha }2 &= (4,\,3,\,2,\,1),\\\ \text{linha }3 &= (1,\,2,\,3,\,4),\\\ \text{linha }4 &= (-4,\,-3,\,-2,\,-1). \end{aligned}
Observe as relações entre linhas:
\text{linha }3 = -\,\text{linha }1, \qquad \text{linha }4 = -\,\text{linha }2.
Isto é, a linha 3 é exatamente o oposto da linha 1, e a linha 4 é o oposto da linha 2.

Passo 4

Consequências dessas relações:
  • Se uma linha é múltiplo escalar de outra (no caso múltiplo -1), as duas linhas são linearmente dependentes.
  • Uma matriz com duas linhas linearmente dependentes tem determinante zero. Uma forma curta de ver é: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; se uma linha é o negativo da outra, trocar essas linhas transforma a matriz em si mesma multiplicada por -1, forçando \det(A)=-\det(A), logo \det(A)=0. Outro argumento é que existência de dependência linear entre linhas implica que as linhas não são base, então o volume orientado (determinante) é zero.
Portanto, a existência das igualdades \text{linha }3=-\text{linha }1 e \text{linha }4=-\text{linha }2 implica imediatamente que
\det(A)=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema da adjunta: como \det(A)=0, a fórmula
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)
não pode ser usada (não podemos dividir por zero). Logo a matriz A não é invertível e não existe A^{-1}.

Resposta

Não existe inversa, pois \det(A)=0.

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