Examinando o determinante da matriz de coeficientes, mostre que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se, \alpha =\beta.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar, examinando o determinante da matriz de coeficientes, que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se, \alpha=\beta.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A afirmação a provar envolve dois parâmetros \alpha e \beta.
  • Pede-se um argumento baseado no determinante da matriz de coeficientes do sistema linear homogêneo.
Informação que falta (essencial):
  • A matriz de coeficientes do sistema (ou as equações do sistema) não foi fornecida. Sem essa matriz não é possível calcular explicitamente o determinante e nem verificar a relação pedida.

Passo 2

Lembrete teórico obrigatório (ferramenta que será usada): para um sistema linear homogêneo
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
onde A é a matriz quadrada de coeficientes e \mathbf{x} é o vetor incógnita, vale o seguinte fato central:
\text{O sistema tem solução não trivial (isto é, }\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\text{) se, e somente se, } \det(A)=0.çããé
Explicação dessa equivalência, com calma:
  • Se \det(A)\neq0 então A é invertível; multiplicando A\mathbf{x}=\mathbf{0} por A^{-1} obtém-se \mathbf{x}=\mathbf{0}. Logo não há solução não trivial.
  • Se \det(A)=0 então A é singular, tem posto menor que a ordem da matriz e, por consequência, o núcleo de A tem dimensão positiva. Logo existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Esse é o resultado que justifica por que devemos “examinar o determinante da matriz de coeficientes”.

Passo 3

Como procederia para demonstrar a afirmação pedida (passo-a-passo do método, sem ainda calcular porque falta a matriz):
  1. Escrever a matriz de coeficientes A do sistema explicitamente, com entradas que dependam, possivelmente, de \alpha e \beta.
  2. Calcular \det(A) como função de \alpha e \beta; isto gera uma expressão \det(A)=f(\alpha,\beta).
  3. Factorizar f(\alpha,\beta) sempre que possível. Em muitos problemas concretos aparece uma fatoração do tipo f(\alpha,\beta)=g(\alpha,\beta)\,(\alpha-\beta),ou mesmo f(\alpha,\beta)=c(\alpha-\beta) com c não nulo e independente de \alpha,\beta.
  4. Concluir: se f(\alpha,\beta) factoriza como acima com um fator (\alpha-\beta) que é o único fator que pode anular f (ou seja, se g(\alpha,\beta) nunca zera na situação considerada), então \det(A)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha-\beta=0 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha=\beta.
  5. Aplicar o teorema do Passo 2 para inferir que o sistema tem solução não trivial se, e só se, \alpha=\beta.

Passo 4

Exemplo didático (para treinar a técnica): suponha que a matriz de coeficientes fosse, por exemplo,
A_{\text{ex}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \alpha-\beta\end{pmatrix}.
Então
\det(A_{\text{ex}})=1\cdot(\alpha-\beta)=(\alpha-\beta).
Pelo Passo 2, o sistema homogêneo com essa matriz tem solução não trivial se, e somente se, \det(A_{\text{ex}})=0, isto é, \alpha-\beta=0, ou seja \alpha=\beta. Esse exemplo mostra concretamente a ideia de calcular e factorizar o determinante para obter a condição \alpha=\beta.
Observação importante sobre “se, e somente se”: ao mostrar uma equivalência do tipo \det(A)=0 \Leftrightarrow \alpha=\beta é preciso checar se não aparecem outros fatores que possam anular \det(A). Só se o único fator (ou os únicos fatores relevantes) que podem anular o determinante for \alpha-\beta é que a equivalência completa fica garantida.]

Passo 5

Por que não posso finalizar a demonstração para o sistema específico pedido: para transformar o método do Passo 3 em uma prova completa é necessário calcular a expressão explícita de \det(A), o que exige conhecer as entradas de A. Como a matriz de coeficientes do enunciado não foi fornecida, não é possível efetuar esse cálculo e, portanto, não é possível verificar nem demonstrar a fatoração que leve a \alpha=\beta.
Se a matriz de coeficientes for fornecida, faço o cálculo do determinante passo a passo, mostro a fatoração e concluo rigorosamente a equivalência \det(A)=0 \Leftrightarrow \alpha=\beta, e em seguida uso o teorema do Passo 2 para obter a conclusão sobre soluções não triviais.

Resposta

Não é possível concluir porque a matriz de coeficientes do sistema não foi fornecida; em geral, para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem-se solução não trivial iff \det(A)=0, e provar que isso equivale a \alpha=\beta exige calcular explicitamente \det(A) e mostrar que ele se anula exatamente quando \alpha=\beta.

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