Examinando o determinante da matriz de coeficientes, mostre que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se,
.
Passo 1
O enunciado pede: mostrar, examinando o determinante da matriz de coeficientes, que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se,
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A afirmação a provar envolve dois parâmetros
e . - Pede-se um argumento baseado no determinante da matriz de coeficientes do sistema linear homogêneo.
Informação que falta (essencial):
- A matriz de coeficientes do sistema (ou as equações do sistema) não foi fornecida. Sem essa matriz não é possível calcular explicitamente o determinante e nem verificar a relação pedida.
Passo 2
Lembrete teórico obrigatório (ferramenta que será usada): para um sistema linear homogêneo
onde
é a matriz quadrada de coeficientes e
é o vetor incógnita, vale o seguinte fato central:
Explicação dessa equivalência, com calma:
- Se
então é invertível; multiplicando por obtém-se . Logo não há solução não trivial. - Se
então é singular, tem posto menor que a ordem da matriz e, por consequência, o núcleo de tem dimensão positiva. Logo existe tal que .
Esse é o resultado que justifica por que devemos “examinar o determinante da matriz de coeficientes”.
Passo 3
Como procederia para demonstrar a afirmação pedida (passo-a-passo do método, sem ainda calcular porque falta a matriz):
- Escrever a matriz de coeficientes
do sistema explicitamente, com entradas que dependam, possivelmente, de e . - Calcular
como função de e ; isto gera uma expressão . - Factorizar
sempre que possível. Em muitos problemas concretos aparece uma fatoração do tipo ou mesmo com não nulo e independente de . - Concluir: se
factoriza como acima com um fator que é o único fator que pode anular (ou seja, se nunca zera na situação considerada), então - Aplicar o teorema do Passo 2 para inferir que o sistema tem solução não trivial se, e só se,
.
Passo 4
Exemplo didático (para treinar a técnica): suponha que a matriz de coeficientes fosse, por exemplo,
Então
Pelo Passo 2, o sistema homogêneo com essa matriz tem solução não trivial se, e somente se,
, isto é,
, ou seja
. Esse exemplo mostra concretamente a ideia de calcular e factorizar o determinante para obter a condição
.
Observação importante sobre “se, e somente se”: ao mostrar uma equivalência do tipo
é preciso checar se não aparecem outros fatores que possam anular
. Só se o único fator (ou os únicos fatores relevantes) que podem anular o determinante for
é que a equivalência completa fica garantida.]
Passo 5
Por que não posso finalizar a demonstração para o sistema específico pedido: para transformar o método do Passo 3 em uma prova completa é necessário calcular a expressão explícita de
, o que exige conhecer as entradas de
. Como a matriz de coeficientes do enunciado não foi fornecida, não é possível efetuar esse cálculo e, portanto, não é possível verificar nem demonstrar a fatoração que leve a
.
Se a matriz de coeficientes for fornecida, faço o cálculo do determinante passo a passo, mostro a fatoração e concluo rigorosamente a equivalência
, e em seguida uso o teorema do Passo 2 para obter a conclusão sobre soluções não triviais.
Resposta
Não é possível concluir porque a matriz de coeficientes do sistema não foi fornecida; em geral, para um sistema homogêneo
tem-se solução não trivial iff
, e provar que isso equivale a
exige calcular explicitamente
e mostrar que ele se anula exatamente quando
.