Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=4.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas em torno do eixo y. As informações dadas são:
  • Curvas que limitam a região: y=\sqrt{x}, y=0 e x=4.
  • Eixo de rotação: eixo y.
  • Região implícita: o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le 4 e 0\le y\le \sqrt{x}.

Passo 2

Entendendo o método das cascas cilíndricas (explicação didática):
  • Imagine uma faixa vertical muito fina na região, localizada em x com espessura \,dx. Ao girarmos essa faixa em torno do eixo y, ela descreve uma casca cilíndrica.
  • A casca tem:
    • raio igual à distância do eixo y até a casca, ou seja, \text{raio} = x.
    • altura igual à diferença entre a função superior e inferior no ponto x. Aqui a parte superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=0, logo \text{altura}=\sqrt{x}-0=\sqrt{x}.
    • espessura igual a \,dx.
  • O volume de uma casca cilíndrica fina é dado por:
dV = (\text{circunferência}) \times (\text{altura}) \times (\text{espessura}) = 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dx.ê
Explicando as peças: a circunferência da casca é 2\pi\cdot(\text{raio}), e multiplicando pela altura e pela espessura obtemos o volume aproximado da casca.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema:
  • Raio = x.
  • Altura = \sqrt{x}.
  • Portanto o elemento de volume é
dV = 2\pi x\cdot \sqrt{x}\,dx.
Simplificando a potência: \sqrt{x}=x^{1/2}, então x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}. Assim
dV = 2\pi x^{3/2}\,dx.

Passo 4

Agora somamos (integramos) essas cascas de x=0 até x=4 porque a região vai de 0 a 4 em x. Montamos a integral do volume:
V = \int_{0}^{4} 2\pi x^{3/2}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo (regra de potência):
  • Regra: para \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C desde que n\neq -1.
  • Aqui n=\tfrac{3}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}.
  • Assim
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}.
  • Multiplicando pelo fator constante 2\pi:
\int 2\pi x^{3/2}\,dx = 2\pi\cdot\frac{2}{5}x^{5/2} = \frac{4\pi}{5}x^{5/2}.

Passo 6

Avalie a primitiva entre os limites 0 e 4:
V = \left.\frac{4\pi}{5}x^{5/2}\right|_{0}^{4} = \frac{4\pi}{5}\big(4^{5/2}-0^{5/2}\big).
Calcule 4^{5/2}:
  • Primeiro 4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • Então 4^{5/2}=(4^{1/2})^{5}=2^{5}=32.
    Logo
V = \frac{4\pi}{5}\cdot 32 = \frac{128\pi}{5}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado tem forma \dfrac{\text{constante}\times\pi}{\text{número}}ú, típico de volumes de sólidos de revolução.
  • Dimensionalmente faz sentido: unidade de volume proporcional a comprimento^3.
  • Portanto o volume pedido é \dfrac{128\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{128\pi}{5}

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