Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y. y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=4.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas em torno do eixo y. As informações dadas são:
Curvas que limitam a região: y=\sqrt{x}, y=0 e x=4.
Eixo de rotação: eixo y.
Região implícita: o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le 4 e 0\le y\le \sqrt{x}.
Passo 2
Entendendo o método das cascas cilíndricas (explicação didática):
Imagine uma faixa vertical muito fina na região, localizada em x com espessura \,dx. Ao girarmos essa faixa em torno do eixo y, ela descreve uma casca cilíndrica.
A casca tem:
raio igual à distância do eixo y até a casca, ou seja, \text{raio} = x.
altura igual à diferença entre a função superior e inferior no ponto x. Aqui a parte superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=0, logo \text{altura}=\sqrt{x}-0=\sqrt{x}.
espessura igual a \,dx.
O volume de uma casca cilíndrica fina é dado por:
dV = (\text{circunferência}) \times (\text{altura}) \times (\text{espessura}) = 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dx.
Explicando as peças: a circunferência da casca é 2\pi\cdot(\text{raio}), e multiplicando pela altura e pela espessura obtemos o volume aproximado da casca.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
Raio = x.
Altura = \sqrt{x}.
Portanto o elemento de volume é
dV = 2\pi x\cdot \sqrt{x}\,dx.
Simplificando a potência: \sqrt{x}=x^{1/2}, então x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}. Assim
dV = 2\pi x^{3/2}\,dx.
Passo 4
Agora somamos (integramos) essas cascas de x=0 até x=4 porque a região vai de 0 a 4 em x. Montamos a integral do volume:
V = \int_{0}^{4} 2\pi x^{3/2}\,dx.
Passo 5
Calcule a integral passo a passo (regra de potência):
Regra: para \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C desde que n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{3}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}.