Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá as curvas
e
e pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno do eixo
(o eixo vertical). \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As equações das curvas são
e . - O eixo de rotação é o eixo
. - A região delimitada é a parte do plano entre essas duas curvas (onde elas se intersectam). \n
O que devemos encontrar: o volume do sólido de revolução formado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática do método):
- Quando giramos uma região em torno de um eixo vertical (o eixo
), um método muito prático é o método das cascas cilíndricas (método das casquinhas). Vou explicar por que e como ele funciona. \n - Conceito do método das cascas cilíndricas: imagine cortar a região por retângulos verticais de espessura
. Ao girar um retângulo vertical de abscissa em torno do eixo , ele gera uma casca cilíndrica de raio , altura igual à diferença entre as funções (topo menos fundo) e espessura . \n - Fórmula elemental: o volume de uma casca cilíndrica de raio
, altura e espessura é aproximadamente a área lateral do cilindro vezes a espessura:
Aqui
é a distância do retângulo ao eixo de rotação,
é a altura do retângulo (diferença entre as curvas) e
é a espessura. \n
- No nosso caso, a distância do retângulo vertical ao eixo
é . A altura é (isso será validado depois ao determinar qual curva está acima). \n - Portanto a integral do volume será da forma
onde
e
são as abscissas onde as curvas se intersectam. No próximo passo determinamos
e
.
Passo 3
Determinar os limites de integração (interseção das curvas):
- Encontramos os pontos de interseção resolvendo
. \n
Logo as soluções são
e
. \n
- Esses valores dizem que a região está entre
e . Entre esses valores, comparando as curvas: para temos , então está acima de . Assim a altura da casca é realmente .
Passo 4
Montar a integral do volume usando cascas cilíndricas:
- Aplicando a fórmula do Passo 2 com
e , e integrando de a , obtemos
- Aqui explico cada termo:
-
vem da circunferência (com ); -
é o raio da casca (distância até o eixo ); -
é a altura da casca (valor superior menos inferior); -
é a espessura da casca.
-
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Primeiro simplificamos o integrando:
- Então
- Integramos termo a termo. Lembrando que a primitiva de
é : - Para
: primitiva é . - Para
: primitiva é .
- Para
- Assim a primitiva total é
- Avaliando entre
e :
Calcule
:
Compute cada termo:
Então
E
. Portanto
- Simplificando
, obtemos
Passo 6
Conclusão e curto comentário de interpretação:
- O volume exato do sólido gerado é
. \n - (Rápida intuição) O resultado tem unidade de volume; em caso de precisar de aproximação numérica,
, mas em provas normalmente a forma exata é a desejada.