Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^{2}, \quad y=2 x; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado dá as curvas
y = x^{2}
e
y = 2x
e pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno do eixo y (o eixo vertical). \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As equações das curvas são y=x^{2} e y=2x.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
  • A região delimitada é a parte do plano entre essas duas curvas (onde elas se intersectam). \n
    O que devemos encontrar: o volume do sólido de revolução formado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática do método):
  • Quando giramos uma região em torno de um eixo vertical (o eixo y), um método muito prático é o método das cascas cilíndricas (método das casquinhas). Vou explicar por que e como ele funciona. \n
  • Conceito do método das cascas cilíndricas: imagine cortar a região por retângulos verticais de espessura dx. Ao girar um retângulo vertical de abscissa x em torno do eixo y, ele gera uma casca cilíndrica de raio x, altura igual à diferença entre as funções (topo menos fundo) e espessura dx. \n
  • Fórmula elemental: o volume de uma casca cilíndrica de raio r, altura h e espessura dx é aproximadamente a área lateral do cilindro vezes a espessura:
dV \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi r \cdot h \cdot dx.ê
Aqui r é a distância do retângulo ao eixo de rotação, h é a altura do retângulo (diferença entre as curvas) e dx é a espessura. \n
  • No nosso caso, a distância do retângulo vertical ao eixo y é r = x. A altura é h = (\text{ curva superior }) - (\text{ curva inferior }) = 2x - x^{2} (isso será validado depois ao determinar qual curva está acima). \n
  • Portanto a integral do volume será da forma
V = \int_{x=a}^{x=b} 2\pi x \bigl(\text{altura}(x)\bigr)\,dx,
onde a e b são as abscissas onde as curvas se intersectam. No próximo passo determinamos a e b.

Passo 3

Determinar os limites de integração (interseção das curvas):
  • Encontramos os pontos de interseção resolvendo x^{2} = 2x. \n
x^{2} = 2x \Rightarrow x^{2}-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=2. \n
  • Esses valores dizem que a região está entre x=0 e x=2. Entre esses valores, comparando as curvas: para 0<x<2 temos 2x - x^{2} >0, então y=2x está acima de y = x^{2}. Assim a altura da casca é realmente h(x)=2x-x^{2}.

Passo 4

Montar a integral do volume usando cascas cilíndricas:
  • Aplicando a fórmula do Passo 2 com r=x e h(x)=2x-x^{2}, e integrando de x=0 a x=2, obtemos
V = \int_{0}^{2} 2\pi \, x \bigl(2x - x^{2}\bigr)\,dx.
  • Aqui explico cada termo:
    • 2\pi vem da circunferência 2\pi r (com r=x);
    • x é o raio da casca (distância até o eixo y);
    • \bigl(2x - x^{2}\bigr) é a altura da casca (valor superior menos inferior);
    • dx é a espessura da casca.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Primeiro simplificamos o integrando:
2\pi \, x(2x - x^{2}) = 2\pi(2x^{2} - x^{3}) = 4\pi x^{2} - 2\pi x^{3}.
  • Então
V = \int_{0}^{2} \bigl(4\pi x^{2} - 2\pi x^{3}\bigr)\,dx.
  • Integramos termo a termo. Lembrando que a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
    • Para 4\pi x^{2}: primitiva é 4\pi \cdot \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{4\pi x^{3}}{3}.
    • Para -2\pi x^{3}: primitiva é -2\pi \cdot \dfrac{x^{4}}{4} = -\dfrac{2\pi x^{4}}{4} = -\dfrac{\pi x^{4}}{2}.
  • Assim a primitiva total é
F(x) = \dfrac{4\pi x^{3}}{3} - \dfrac{\pi x^{4}}{2}.
  • Avaliando entre 0 e 2:
V = F(2)-F(0).
Calcule F(2):
F(2) = \dfrac{4\pi (2)^{3}}{3} - \dfrac{\pi (2)^{4}}{2} = \dfrac{4\pi \cdot 8}{3} - \dfrac{\pi \cdot 16}{2}.
Compute cada termo:
\dfrac{4\pi \cdot 8}{3} = \dfrac{32\pi}{3},\qquad \dfrac{\pi \cdot 16}{2} = 8\pi.
Então
F(2) = \dfrac{32\pi}{3} - 8\pi.
E F(0)=0. Portanto
V = \dfrac{32\pi}{3} - 8\pi.
  • Simplificando 8\pi = \dfrac{24\pi}{3}, obtemos
V = \dfrac{32\pi - 24\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{3}.

Passo 6

Conclusão e curto comentário de interpretação:
  • O volume exato do sólido gerado é \dfrac{8\pi}{3}. \n
  • (Rápida intuição) O resultado tem unidade de volume; em caso de precisar de aproximação numérica, \dfrac{8\pi}{3}\approx 8{,}3776, mas em provas normalmente a forma exata \dfrac{8\pi}{3} é a desejada.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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